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| Aufgabe | 1) Bestimmen Sie die Anzahl der Lößungen in Abhängigkeit von y und geben sie die Lößung im Fall der eindeutigen Lößbarkeit an.
[mm] x_1\vektor{1 \\ 0 \\ y}+x_2\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+x_3\vektor{y \\ -1 \\ 0}=\vektor{2 \\ 0 \\ 3-y}
[/mm]
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Hi,
also, ich habe 3 unbekannte, x1 x2 x3, 3 Gleichungen. Ich löse nach x1 x2 x3 auf und dann habe ich die Lößung in Abhängigkeit von y:
[mm](I) x_1+yx_3=2[/mm]
[mm](II)x_2-x_3=0[/mm]
[mm](III)yx_1+x_203-y[/mm]
-------------------------------------------------
aus (I):
[mm]x_1=2-yx_3[/mm]
in (III):
[mm]\begin{matrix}y(2-yx_3)+x_2&=&3-y\\
2y-y^2x_3+x_2&=&3-y\\
x_2&=&3-y-2y+y^2x_3\\
x_2&=&3-3y+y^2x_3\end{matrix}[/mm]
in (II):
[mm]\begin{matrix}3-3y+y^2x_3-x_3&=&0\\
3-3y-y^2x_3&=&0\\
-y^2x_3&=&3y-3\\
x_3&=&-\bruch{3y-3}{y^2}\end{matrix}[/mm]
somit:
[mm]x_3=-\bruch{3y-3}{y^2}[/mm][mm] \\
[/mm]
[mm]\begin{matrix}x_2&=&3-3y+y^2\left(-\bruch{3y-3}{y^2}\right)\\
&=&3-3y-\bruch{3y^3-3y^2}{y^2}\\
&=&\bruch{3y^2-3y^3-3y^3-3y^2}{y^2}\\
&=&\bruch{-6y^3}{y^2}\\
&=&-6y\end{matrix}[/mm]
[mm]\begin{matrix}x_1&=&2-y\left(-\bruch{3y-3}{y^2}\right)\\
&=&2+\bruch{3y^2+3y}{y^2}\\
&=&\bruch{2y^2+3y^2+3y}{y^2}\\
&=&\bruch{5y^2+3y}{y^2}\\
&=&\bruch{y(5y+3)}{y^2}\\
&=&\bruch{5y+3}{y}\end{matrix}
[/mm]
So,
ich hoffe das ist richtig und ich habe mich nicht vertippt.
Meine Frage ist, ob das nun die Frage der Aufgabenstellung beantwortet oder bin ich hier komplett auf dem falschen Dampfer??
mfg, Michael
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> 1) Bestimmen Sie die Anzahl der Lößungen in Abhängigkeit
> von y und geben sie die Lößung im Fall der eindeutigen
> Lößbarkeit an.
>
> [mm]x_1\vektor{1 \\ 0 \\ y}+x_2\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+x_3\vektor{y \\ -1 \\ 0}=\vektor{2 \\ 0 \\ 3-y}[/mm]
>
> Hi,
>
> also, ich habe 3 unbekannte, x1 x2 x3, 3 Gleichungen. Ich
> löse nach x1 x2 x3 auf und dann habe ich die Lößung in
> Abhängigkeit von y:
>
> [mm](I) x_1+yx_3=2[/mm]
> [mm](II)x_2-x_3=0[/mm]
> [mm](III)yx_1+x_203-y[/mm]
> -------------------------------------------------
> aus (I):
> [mm]x_1=2-yx_3[/mm]
>
> in (III):
> [mm]\begin{matrix}y(2-yx_3)+x_2&=&3-y\\
2y-y^2x_3+x_2&=&3-y\\
x_2&=&3-y-2y+y^2x_3\\
x_2&=&3-3y+y^2x_3\end{matrix}[/mm]
>
> in (II):
> [mm] 3-3y+y^2x_3-x_3&=&0
[/mm]
[mm] 3-3y-y^2x_3&=&0
[/mm]
Hallo,
hier hast Du Dich verrechnet.
Später dividierst Du durch [mm] y^2. [/mm] An solchen Stellen mußt Du ausschließen, daß Du durch 0 teilst, und den "Nullfall" später getrennt untersuchen.
Ich gehe davon aus, daß Du den Gaußalgorithmus durchführen kannst.
Diese Aufgaben lasse sich am übersichtlichsten lösen, indem man den Gaußalgorithmus auf die erweiterte Koeffizientenmatrix losläßt.
Gruß v. Angela
[mm] -y^2x_3&=&3y-3\\
[/mm]
[mm] x_3&=&-\bruch{3y-3}{y^2}
[/mm]
>
>
> somit:
>
> [mm]x_3=-\bruch{3y-3}{y^2}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\begin{matrix}x_2&=&3-3y+y^2\left(-\bruch{3y-3}{y^2}\right)\\
&=&3-3y-\bruch{3y^3-3y^2}{y^2}\\
&=&\bruch{3y^2-3y^3-3y^3-3y^2}{y^2}\\
&=&\bruch{-6y^3}{y^2}\\
&=&-6y\end{matrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{matrix}x_1&=&2-y\left(-\bruch{3y-3}{y^2}\right)\\
&=&2+\bruch{3y^2+3y}{y^2}\\
&=&\bruch{2y^2+3y^2+3y}{y^2}\\
&=&\bruch{5y^2+3y}{y^2}\\
&=&\bruch{y(5y+3)}{y^2}\\
&=&\bruch{5y+3}{y}\end{matrix}
[/mm]
>
> So,
> ich hoffe das ist richtig und ich habe mich nicht
> vertippt.
> Meine Frage ist, ob das nun die Frage der Aufgabenstellung
> beantwortet oder bin ich hier komplett auf dem falschen
> Dampfer??
>
> mfg, Michael
>
>
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Hallo,
also einen Gaußalgorithmus haben wir nicht behandelt.
$ [mm] 3-3y+y^2x_3-x_3&=&0 [/mm] $
wie kann ich hier dann weiter zusammenfassen damit ich nach [mm] x_3 [/mm] auflösen kann?
Somit kann ich für y dann alle [mm] \IR [/mm] \ {0} einsetzen?
mfg, michael
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> Hallo,
>
> also einen Gaußalgorithmus haben wir nicht behandelt.
>
> [mm]3-3y+y^2x_3-x_3&=&0[/mm]
>
> wie kann ich hier dann weiter zusammenfassen damit ich nach
> [mm]x_3[/mm] auflösen kann?
Hallo,
es ist [mm] 3-3y+y^2x_3-x_3=3-3y [/mm] + [mm] x_3(y^2-1).
[/mm]
Damit kommst Du dann weiter. Aber paß auch hier beim Teilen auf. Die Fälle, in denen Du durch 0 teilen würdest, sind getrennt zu untersuchen.
> Somit kann ich für y dann alle [mm]\IR[/mm] \ {0} einsetzen?
Wenn das, was Du zuvor gerechnet hast, richtig wäre, dann ja, aber ich meine, daß es weitere Einschränkungen geben wird.
Gruß v. Angela
>
> mfg, michael
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hallo,
danke für den gefunden Fehler
somit habe ich folgendes errechnet:
[mm] x_3=\bruch{-3-3y}{y^2-1}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{-6y^3}{y2-1}
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{5y^2+3y-2}{y^2-1}
[/mm]
Somit: [mm] \IR [/mm] \ {-1;1}
Falls y=0 muss ich in die Gleichungen für y eben 0 einsetzen und dann erst auflösen, oder?
So einen Fall hatten wir leider noch nicht..
mfg, michael
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> hallo,
>
> danke für den gefunden Fehler
> somit habe ich folgendes errechnet:
>
> [mm]x_3=\bruch{-3-3y}{y^2-1}[/mm]
> [mm]x_2=\bruch{-6y^3}{y2-1}[/mm]
> [mm]x_1=\bruch{5y^2+3y-2}{y^2-1}[/mm]
Hallo,
Deine Ergebnisse stimmen nicht, das verhängnis nimmt bereits bei [mm] x_3 [/mm] seinen Lauf.
Die Vorzeichen verdienen genaueste Beachtung...
>
> Somit: [mm]\IR[/mm] \ {-1;1}
Ja, und die Fälle -1 und 1 mußt Du nun untersuchen, indem Du das jeweils in die Ursprungsgleichung einsetzt und dann auflöst.
Gruß v. Angela
>
> Falls y=0 muss ich in die Gleichungen für y eben 0
> einsetzen und dann erst auflösen, oder?
> So einen Fall hatten wir leider noch nicht..
>
> mfg, michael
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Hi,
stimmt, habe den Fehler gefunden
[mm] x_3=\bruch{3y-3}{y^2-1}
[/mm]
und dann eben den rest noch durchrechnen...
danke für deine Hilfe
mfg, michael
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> Hi,
>
> stimmt, habe den Fehler gefunden
>
> [mm]x_3=\bruch{3y-3}{y^2-1}[/mm]
Hallo,
ist Dir kalr, daß Du noch kürzen kannst? [mm] x_3=\bruch{3y-3}{y^2-1}=x_3=\bruch{3}{y+1}
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> und dann eben den rest noch durchrechnen...
> danke für deine Hilfe
>
> mfg, michael
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