Linearität in normiertem Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Do 05.07.2007 | | Autor: | Pilz007 |
| Aufgabe | E, F normierte Räume u: [mm] \left E \right \to [/mm] F für die gilt: für alle x, y [mm] \in [/mm] E: f(x+y)=f(x)+f(y). f ist beschränkt auf die Kugel K(0;1) in E.
Zu zeigen: f linear und stetig
Man beachte, dass f(r*x)=r*f(x) für alle rationalen r gilt und, dass für y [mm] \in [/mm] K(0;1) für alle [mm] n\ge1 [/mm] die Ungleichung [mm] \left|| f(x+(1/n)*y)-f(x) \right|| \ge \left|| f(y)\right||/n [/mm] erfüllt ist. Hieraus leite man her, dass f(s*x)=s*f(x) für jedes [mm] s\in \IR [/mm] gilt, indem man (1/n)*y=(r-s)*x wählt wobei r rational ist. |
Also die Stetigkeit Folgt einfach aus der Linearität, das verstehe ich noch, aber ich verstehe den Hinweis nicht so genau, denn
[mm] \left|| f(x+(1/n)*y)-f(x) \right|| [/mm] = [mm] \left|| f(x)+f((1/n)*y)-f(x) \right|| [/mm]
und da 1/n für n [mm] \ge [/mm] 1 eine rationale Zahl ist folgt
[mm] \left|| f(x)+(1/n)*f(y)-f(x) \right|| [/mm] = [mm] \left|| (1/n)*f(y) \right|| [/mm]
und daraus folgt dann = 1/n* [mm] \left|| f(y) \right|| [/mm] also gilt nach meiner Schlussfolgerung doch ein = und nicht [mm] \le [/mm] oder? Wo ist hier der Fehler? Außerdem verstehe ich nicht wie man von (1/n)*y=(r-s)*x auf f(s*x)=s*f(x) schließt.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mo 09.07.2007 | | Autor: | wauwau |
ich würde anders argumentieren
sei [mm] s_n [/mm] eine Folge rationaler Zahlen, die gegen s konvergiert, dann
gilt
[mm] ||f(s_n*x)-s*f(x)||=||(s_n-s)*f(x)|| [/mm] = [mm] |s_n-s|*||f(x)||
[/mm]
daher Grenzübergang n [mm] \rightarrow \infty [/mm] und durch stetigkeit von f kann man funktion und Grenzwertbildung vertauschen
[mm]||f(s*x)-s*f(x)|| = 0 [/mm] q.e.d
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