Linearisierung < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:17 Do 10.12.2015 | | Autor: | RichardEb |
| Aufgabe | Legen Sie durch die Punkte (0;-1), (1;2), (-1;0) das Interpolationspolynom
2. Grades. |
Wir sollen diese Aufgabe mittels Linearisierung lösen.
Wir haben für eine Potenzfunktion folgende Formel
[mm] y=bx^a [/mm] wird linearisiert durch log(y)=log(b)+a*log(x)
Nun sieht ein Polynom 2. Gerades jedoch so aus: [mm] y=ax^2+bx+c
[/mm]
Wie kann ich nun mit dieser Formel und mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate (Lineare Regression) auf die Lösung kommen? Ich muss [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] offenbar irgendwie in eine Lineare Fkt zwängen. Nur weiß ich nicht genau wie.
Da unser Prof. da nicht weiter drauf eingegangen ist, kann es kein kompliziertes Verfahren sein. Es muss sich um einen einfachen "Trick" handeln.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Legen Sie durch die Punkte (0;-1), (1;2), (-1;0) das
> Interpolationspolynom
> 2. Grades.
> Wir sollen diese Aufgabe mittels Linearisierung lösen.
>
> Wir haben für eine Potenzfunktion folgende Formel
> [mm]y=bx^a[/mm] wird linearisiert durch log(y)=log(b)+a*log(x)
>
> Nun sieht ein Polynom 2. Gerades jedoch so aus:
> [mm]y=ax^2+bx+c[/mm]
>
> Darf ich für die Linearisierung das Polynom 2. Grades nun
> einfach auf [mm]y=ax^2[/mm] einkürzen oder kann ich es aufteilen in
> [mm]y1=ax^2[/mm] und y2=bx+c, diese getrennt rechnen und dann
> irgend wie wieder zusammen bauen?
>
> Da unser Prof. da nicht weiter drauf eingegangen ist, kann
> es kein kompliziertes Verfahren sein. Es muss sich um einen
> einfachen "Trick" handeln.
Für mich sieht die Sache so aus:
Es gibt genau ein Polynom p 2. Grades mit
p(0)=-1, p(1)=2 und p(-1)=0,
nämlich [mm] p(x)=2x^2+x-1.
[/mm]
Auf diese Lösung kommt man, wie man es in der Schule gemacht hat. Wie man das mit "Linearisierung" anstellt ist mir nicht klar.
FRED
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Wir sollen das Ganze eben nicht als LGS rechnen sondern mit Hilfe der Numerik.
Hier Methode der kleinsten Quadrate bzw der Linearen Regression: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression
Diese funktioniert wie der Name schon sagt nur mit Linearen Problemen. Daher muss eine Potenzfunktion linearisiert werden.
Die Frage ist nur wie genau? Wie gesagt wird eine Potenzfkt [mm] y=bx^a [/mm] durch log(y)=log(b)+a*log(x) linearisiert. Leider ist [mm] y=bx^a [/mm] nicht ganz [mm] y=ax^2 [/mm] +bx +c
Daher bin ich gerade ratlos, wie ich [mm] y=ax^2 [/mm] +bx +c durch linearisierung bestimmen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Richard,
der Begriff der Linearisierung ist in diesem Zusammenhang ziemlich sinnlos. Eventuell war gemeint, dass die Modellfunktion, also die vorgegebene quadratische Funktion, sich als lineare Modellfunktion schreiben lässt, sich also aus der Summe anderer Terme, die allerdings nicht linear zu sein brauchen, beschreiben lässt. Insofern ist die quadratische Funktion eine lineare Modellfunktion.
Jetzt musst Du einfach das Fehlerquadrat minimieren:
[mm] \sum_{i=1}^{3} (f(x_i, a, b, c) - y_i)^2 = Min. [/mm]
Du musst also für die Funktion [mm] f(x_i, a, b, c) = ax_i^2+ bx_i + c [/mm] einsetzen, nach a, b und c ableiten und diese Ableitungen jeweils zu Null setzen, um die Minimierung zu erfüllen. Damit hast Du dann drei Gleichungen für Deine drei Unbekannten a, b und c und kannst sie demzufolge bestimmen.
Lege einfach mal los, etwas Schreibarbeit ist es, aber nicht umwerfend kompliziert.
Viele Grüße,
Infinit
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