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| Aufgabe | gegeben seien die linearformen
[mm] \varphi_1: \IR^5--> \IR
[/mm]
[mm] (x_1,....x_5)-->x_1
[/mm]
und für j=2,...,5
[mm] \varphi_j: \IR^5--> \IR
[/mm]
[mm] (x_1,...,x_5)-->x_j-x_{(j-1)}
[/mm]
zeigen sie, das [mm] B^{\*}:=\{\varphi_1,...,\varphi_5\} [/mm] eine basis des dualraumes des [mm] \IR^5 [/mm] ist, und geben sie eine basis B des [mm] \IR^5 [/mm] an , die [mm] B^{\*} [/mm] als dualbasis hat. |
Hallo. Komme mit der Aufgabe nicht weiter. kann mir jemand helfen?
Vielen dank für die hilfe.
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> gegeben seien die linearformen
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> [mm]\varphi_1: \IR^5--> \IR[/mm]
> [mm](x_1,....x_5)-->x_1[/mm]
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> und für j=2,...,5
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> [mm]\varphi_j: \IR^5--> \IR[/mm]
> [mm](x_1,...,x_5)-->x_j-x_{(j-1)}[/mm]
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> zeigen sie, das [mm]B^{\*}:=\{\varphi_1,...,\varphi_5\}[/mm] eine
> basis des dualraumes des [mm]\IR^5[/mm] ist, und geben sie eine
> basis B des [mm]\IR^5[/mm] an , die [mm]B^{\*}[/mm] als dualbasis hat.
>
> Hallo. Komme mit der Aufgabe nicht weiter.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Lies Dir bitte einmal die Forenregeln durch, insbesondere den Passus über eigene Lösungsansätze.
Es wäre hilfreich, hättest Du verraten, wie weit Du gekommen bist.
Wo liegen Deine Probleme?
Weißt Du, was eine Linearform ist?
Hast Du Dir die [mm] \varphi_i [/mm] mal genau anschaut? Was machen die jeweils mit der Standardbasis?
Um zu zeigen, daß die [mm] \varphi_i [/mm] sämtliche Linearformen von [mm] \IR^5 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] erzeugen, könntest Du eine beliebigen Linearform
[mm] \varphi_i:\IR^5 \to \IR [/mm] mit
[mm] f(e_i):=a_i [/mm] i=1,2,...,5 [mm] ((e_1, ...,e_5) [/mm] Standardbasis, [mm] a_i\in \IR)
[/mm]
nehmen und zeigen, wie Du sie als Linearkombination der [mm] \varphi_i [/mm] darstellen kannst.
Dann hast Du "Erzeugendensystem" gezeigt, und da Du weißt, daß die Dimension von [mm] \IR^5 [/mm] und dem Dualraum gleich sind, weißt Du daß die [mm] \varphi_i [/mm] eine Basis bilden.
Alternativ könntest Du natürlich auch versuchen, die lineare Unabhängigkeit der [mm] \varphi_i [/mm] zu zeigen, und aus demselben Grund wie oben wüßtest Du, daß es eine Basis ist.
Gruß v. Angela
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