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Hallo
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe : " Es sei V der Vektorraum der Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Grad kleiner oder gleich zwei. Wir definieren drei Linearformen auf V durch f1(p) = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {p(x) dx} ; f2(p)= [mm] \integral_{0}^{2} [/mm] {p(x) dx} ; f3(p)= - [mm] ?integral_{-1}^{0} [/mm] {p(x)dx}
wobei p ein beliebiges Polynom aus V ist. Zeigen Sie, dass die Menge {f1,f2,f3} eine Basis von [mm] V^{*} [/mm] ist und bestimmen Sie die Basis von V, zu der sie dual ist."
Irgendwie habe ich noch ziemliche Probleme mit diesen Lineraformen und sehe noch nicht genau den praktischen Bezug der ganzen Sache und bei der Aufgabe habe ich leider keine Ahnung wie ich da ran gehen muss. Kann mir da vielleicht jemand mit Ansätzen weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 So 02.01.2005 | | Autor: | moudi |
Arbeite mit der Standardbasis [mm]e_1=1,e_2=x,e_3=x^2[/mm]. Definiere mit Hilfe der Funktionale [mm]p_j[/mm] eine Matrix [mm]a_{ij}=p_j(e_i)[/mm] und überelege dir, wie sich diese Matrix transformiert, wenn du einen Basiswechsel vornimmst (i.e. neue Basis [mm]f_1,f_2,f_3[/mm] dann [mm]b_{ij}=p_j(f_i)[/mm]).
Dann muss du die Transformationsmatrix des Basiswechsels so wählen, dass [mm]b_{ij}[/mm] die Einheitsmatrix ist.
mfG Moudi
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