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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Fr 13.04.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Satz: Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum, dann gilt [mm] dim_K [/mm] V* [mm] =dim_K [/mm] V
Beweis: Sei B = [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] Basis von V. Betrachte [mm] \lambda [/mm] : V [mm] \to K^n \to [/mm] K.
v lässt sich darstellen durch [mm] v=x_1*v_1+...+x_n*v_n.
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] _i: V [mm] \to [/mm] K Linearform.
Dann gilt: [mm] \lambda _i(v_j)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } i \not=j \\ 1, & \mbox{falls } i=j \end{cases} [/mm] |
Ich habe ein kleines Verstädnisproblem zu den Linearformen. Die Definition lautet: Eine lineare Abbildung [mm] \lambda [/mm] :V [mm] \to [/mm] K heißt Linearform auf V.
Leider verstehe ich nicht, warum durch die Abbildung [mm] \lambda _i(v_j) [/mm] entweder 0 oder 1 herauskommt. In einem Buch habe ich gelesen, dass mit der Abbildung der kanonischen Basisvektoren die Abbildung so definiert ist:
[mm] \lambda _i(e_j)=\lambda [/mm] _i * [mm] v_j =(0,...,0,1,0,...,0)\vektor{e \\ . \\ . \\ . \\ e_n}
[/mm]
Hier ist es mir klar, da durch Multplikation des transponierten Einheitsvektors mit dem Einheitsvektor natürlich an der i-ten Stelle eine 1 steht.
Aber warum gilt dass auch für beliebige Basisvektoren aus V?
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> Satz: Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum, dann
> gilt [mm]dim_K[/mm] V* [mm]=dim_K[/mm] V
> Beweis: Sei B = [mm](v_1,...,v_n)[/mm] Basis von V. Betrachte
> [mm]\lambda[/mm] : V [mm]\to K^n \to[/mm] K.
> v lässt sich darstellen durch [mm]v=x_1*v_1+...+x_n*v_n.[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] _i: V [mm]\to[/mm] K Linearform.
> Dann gilt: [mm]\lambda _i(v_j)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } i \not=j \\
1, & \mbox{falls } i=j \end{cases}[/mm]
>
> Ich habe ein kleines Verstädnisproblem zu den
> Linearformen. Die Definition lautet: Eine lineare Abbildung
> [mm]\lambda[/mm] :V [mm]\to[/mm] K heißt Linearform auf V.
>
> Leider verstehe ich nicht, warum durch die Abbildung
> [mm]\lambda _i(v_j)[/mm] entweder 0 oder 1 herauskommt.
Hallo,
Du hast den Beweis vermutlich nicht komlett wiedergegeben.
Die Linearformen [mm] \lambda_i [/mm] sind ausgehend von einer Basis des [mm] K^n [/mm] so definiert (!) wie oben - nicht irgendwie ausgerechnet.
Und nun kann man zeigen, daß die n Linearformen [mm] \lambda_i [/mm] eine Basis sind, sie also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des Dualraumes sind.
LG Angela
> In einem
> Buch habe ich gelesen, dass mit der Abbildung der
> kanonischen Basisvektoren die Abbildung so definiert ist:
> [mm]\lambda _i(e_j)=\lambda[/mm] _i * [mm]v_j =(0,...,0,1,0,...,0)\vektor{e \\
. \\
. \\
. \\
e_n}[/mm]
>
> Hier ist es mir klar, da durch Multplikation des
> transponierten Einheitsvektors mit dem Einheitsvektor
> natürlich an der i-ten Stelle eine 1 steht.
> Aber warum gilt dass auch für beliebige Basisvektoren aus
> V?
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