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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 25.07.2010 | | Autor: | papilio |
| Aufgabe | Es sei [mm] F_{3} [/mm] = {0,1,2} der Körper mit 3 Elementen. Bestimmen Sie die Menge aller x aus [mm] F_{3}^{5} [/mm] mit Ax=b, wobei A aus [mm] F_{3}^{4x5} [/mm] und b aus [mm] F_{3}^{4} [/mm] die folgenden sind:
A:= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1 & 0 }
[/mm]
b:= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2\\ 2} [/mm] |
Hallo,ich habe die Aufgabe mit dem Gauß-Algorithmus gerechnet, so dass ich auf
x:= [mm] \vektor{0 \\ 2a \\ 2\\ a\\ 2} [/mm] mit a aus [mm] F_{3}
[/mm]
gekommen bin.
Allerdings ist die Lösung:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2\\ 0\\ 2} [/mm] + < [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0\\ 2\\ 0} [/mm] >
Ich hoffe es kann mir einer weiter helfen, wie die eigentliche Lösung entsteht und warum der zweite vektor in <> steht. (Soll das ein Skalarprodukt sein?)
papilio
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Hallo papilio,
> Es sei [mm]F_{3}[/mm] = {0,1,2} der Körper mit 3 Elementen.
> Bestimmen Sie die Menge aller x aus [mm]F_{3}^{5}[/mm] mit Ax=b,
> wobei A aus [mm]F_{3}^{4x5}[/mm] und b aus [mm]F_{3}^{4}[/mm] die folgenden
> sind:
>
> A:= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> b:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2\\ 2}[/mm]
> Hallo,ich habe die Aufgabe
> mit dem Gauß-Algorithmus gerechnet, so dass ich auf
>
>
> x:= [mm]\vektor{0 \\ 2a \\ 2\\ a\\ 2}[/mm] mit a aus [mm]F_{3}[/mm]
> gekommen bin. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Allerdings ist die Lösung:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2\\ 0\\ 2}[/mm] + < [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0\\ 2\\ 0}[/mm]
> >
>
> Ich hoffe es kann mir einer weiter helfen, wie die
> eigentliche Lösung entsteht und warum der zweite vektor in
> <> steht. (Soll das ein Skalarprodukt sein?)
Nein, das [mm] $\langle \vec{x} \rangle$ [/mm] steht für den Spann des Vektors [mm] $\vec{x}$.
[/mm]
Das ist die Menge aller Linearkombinationen des Vektors [mm] $\vec{x}$ [/mm] (über [mm] $\IF_3$), [/mm] also [mm] $<\vec{x}>=\{r\cdot{}\vec{x}\mid r\in\IF_3\}$
[/mm]
Wie kommt man von deiner auf die andere Lösung?
Nun, ein Lösungsvektor sieht nach deiner Rechnung so aus:
[mm] $\vektor{0\\2a\\2\\a\\2}$ [/mm] mit [mm] $a\in\IF_3$
[/mm]
Also [mm] $\IL=\left\{\vektor{0\\2a\\2\\a\\2}\mid a\in\IF_3\right\}$
[/mm]
Nun kannst du aber [mm] $\vektor{0\\2a\\2\\a\\2}$ [/mm] schreiben als [mm] $\vektor{0\\2a\\2\\a\\2}=\vektor{0\\0\\2\\0\\2}+\vektor{0\\2a\\0\\a\\0}=\vektor{0\\0\\2\\0\\2}+a\cdot{}\vektor{0\\2\\0\\1\\0}$
[/mm]
Also [mm] $\IL=\left\{\vektor{0\\0\\2\\0\\2}+a\cdot{}\vektor{0\\2\\0\\1\\0}\mid a\in\IF_3\right\}=\left\{\vektor{0\\0\\2\\0\\2}+2a\cdot{}\vektor{0\\1\\0\\2\\0}\mid a\in\IF_3\right\}=\left\{\vektor{0\\0\\2\\0\\2}+\tilde{a}\cdot{}\vektor{0\\1\\0\\2\\0}\mid \tilde a\in\IF_3\right\}$
[/mm]
Und das kannst du wieder mit der Spann-Schreibweise schreiben als
[mm] $\vektor{0\\0\\2\\0\\2} [/mm] \ + \ [mm] \left\langle\vektor{0\\1\\0\\2\\0}\right\rangle$
[/mm]
Beachte auch, dass sich allg. die Lösung eines inhomogenen LGS zusammensetzt als Summe der allg. Lösung des zugeh. homogenen LGS und einer speziellen (partikulären) Lösung des inhomogenen LGS.
Die Lösungsmenge bildet also einen affinen Vektorraum der Dimension des Lösungsraumes des homog. Systems
Der erste Vektor [mm] $\vektor{0\\0\\2\\0\\2}$ [/mm] ist eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS, der Spann die Lösungsgesamtheit des zugeh. homogenen LGS.
>
> papilio
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 25.07.2010 | | Autor: | papilio |
Kann ich den Spann auch beliebig wählen?
Also auch schon bei:
{ [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 2\\ 0\\ 2} [/mm] + a* [mm] \vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 1\\ 0} [/mm] } -> [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 2\\ 0\\ 2} [/mm] < [mm] \vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 1\\ 0} [/mm] > ?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Kann ich den Spann auch beliebig wählen?
> Also auch schon bei:
> { [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 2\\ 0\\ 2}[/mm] + a* [mm]\vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 1\\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } -> [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 2\\ 0\\ 2}[/mm] < [mm]\vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 1\\ 0}[/mm]
> > ?
Hallo,
ich weiß nicht recht, was Du wissen möchtest.
Dies vielleicht (?):
es ist [mm] \{ \vektor{0 \\ 0\\ 2\\ 0\\ 2}+ a*\vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 1\\ 0}| a\in \IR\}=\vektor{0 \\ 0\\ 2\\ 0\\ 2}+<\vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 1\\ 0}>.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 So 25.07.2010 | | Autor: | papilio |
Ja, ich wollte wissen, ob man in diesem "Schritt"
[mm] \{ \vektor{0 \\ 0\\ 2\\ 0\\ 2}+ a\cdot{}\vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 1\\ 0}\}=\vektor{0 \\ 0\\ 2\\ 0\\ 2}+<\vektor{0 \\ 2\\ 0\\ 1\\ 0}> [/mm]
schon den Spann schreiben kann.
papilio
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