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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:27 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
| Aufgabe | Bestimmen der Werte von H so, dass das Gleichungssystem
1. eine einduetige Lösung
2. mehr als eine Lösung
3. keine Lösung hat.
a + b - c = 3
2a + 3b + Hc = 2
a + Hb + 2c = 1
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Ich möchte hier bitte einen Ansatz mit dem ich diese Aufgabenstellung, ohne Zuhilfenahme der Cramerschen Regel lösen kann. Ihr könnt das Beispiel natürlich gerne lösen, mir wäre aber auch schon viel geholfen, wenn ihr mir eine Vorgehensweise beschreiben könntet. Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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1. Schritt
Wie löst man denn von Hand lineare Gleichungssystem? (Gauß)
2. Schritt
Wann hat das LGS dann mehrere Lösungen oder keine Lösungen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
ok, danke!
Habs eben mal mit Gauß versucht. Mein Problem ist jetzt, dass ich den Gauß nicht hinbekomme, weil ich nicht weiß, was ich mit den "H" machen soll. Ich bekomm die Matrix nicht auf Zeilenstufenform. Habs mit Matlab versucht, das bekommt folgendes raus:
[ 1, 0, 0, 1]
[ 0, 1, 0, 0]
[ 0, 0, 1, 0]
(...das ist die Matrix [A,b])
Danke!
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> ok, danke!
>
> Habs eben mal mit Gauß versucht. Mein Problem ist jetzt,
> dass ich den Gauß nicht hinbekomme, weil ich nicht weiß,
> was ich mit den "H" machen soll. Ich bekomm die Matrix
> nicht auf Zeilenstufenform. Habs mit Matlab versucht, das
> bekommt folgendes raus:
Das H nimmst du immer mit:
[mm]
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1&-1&3 \\ 2 & 3&H&2\\1&H&2&1
\end{array}\right)
\to
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1&-1&3 \\ 0 & 1&H+2&-4\\0&H-1&3&-2
\end{array}\right)
\to
\red{\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0&-H-3&7 \\ 0 & 1&H+2&-4\\0&0&-H^2-H+5&-4+4H
\end{array}\right)}
[/mm]
Alle Angaben ohne Gewähr!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Sa 26.06.2010 | | Autor: | abakus |
> > ok, danke!
> >
> > Habs eben mal mit Gauß versucht. Mein Problem ist jetzt,
> > dass ich den Gauß nicht hinbekomme, weil ich nicht weiß,
> > was ich mit den "H" machen soll. Ich bekomm die Matrix
> > nicht auf Zeilenstufenform. Habs mit Matlab versucht, das
> > bekommt folgendes raus:
> Das H nimmst du immer mit:
> [mm]
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1&-1&3 \\ 2 & 3&H&2\\1&H&2&1
\end{array}\right)
\to
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 1&-1&3 \\ 0 & 1&H+2&-4\\0&H-1&3&-2
\end{array}\right)
\to
\red{\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0&-H-3&7 \\ 0 & 1&H+2&-4\\0&0&-H^2-H+5&-4+4H
\end{array}\right)}
[/mm]
>
> Alle Angaben ohne Gewähr!
Ist auch besser so 
Beim (strengen) Gauß-Verfahren ändern sich die Zeilen nur "unten".
Ich sehe auf den ersten Blick keine Notwendigkeit dafür, dass im letzten Schritt plötzlich die erste Zeile sich ändert.
Möglich, dass man mit irgendwelchen Rechnungen so etwas erhält - ohne Erklärung sorgt es für Verwirrung.
Der Kern steckt sowieso erst mal in der letzen Zeile.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
Danke an euch beide! Genau die letzte Zeile (die ja eben so wichtig ist) ist mir aber eben nicht klar. Womit wurde hier welche Zeile multiplitziert? Vielen Dank nochmal an Euch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Sa 26.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke an euch beide! Genau die letzte Zeile (die ja eben so
> wichtig ist) ist mir aber eben nicht klar. Womit wurde hier
> welche Zeile multiplitziert? Vielen Dank nochmal an Euch!
Von der letzten Zeile wurde das (H-1)-fache der zweiten Zeile subtrahiert.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
Ok, danke nochmal an Euch!
Eure Antworten haben mir sehr geholfen!
Ich hab das jetzt so gelöst, dass ich einmal gesagt habe, dass wenn Rang(A) = Rang(A, b) = n(Anzahl der Unbestimmten, also 3) ist, dann habe ich genau eine Lösung.
Wenn Rang(A) = Rang(A,b) != n ist (d.h. wenn die unterste Zeile auf beiden Seiten 0 ergibt), dann hat das System unendlich viele Lösungen.
Wenn Rang(A) != Rang(b) ist (d.h. es gibt in der untersten Zeile einen Widerspruch), dann gibt es keine Lösung.
Reicht es aus, wenn man das für die unterste Zeile zeigt? D.h. wenn man einen Wert findet, für den in der untersten Zeile steht 0=0 (unendlich viele Lösungen) bzw. einen Wert für den sich in der untersten Zeile ein Widerspruch ergibt?
Danke nochmal für Eure Hiflfe. Grundsätzlich hab ich jetzt für mein Problem eine Lösung gefunden.
Lg
Hubert
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Du sollst ja laut Aufgabenstellung sowieso das H angeben. Damit muss du zwangsweise ein H angeben, welches den Rang R(A) < R(A,b) erzeugt.
Es reicht laut Aufgabenstellung also nicht einen Wert zu finden. [mm] $-(H^2+H-5)=0$ [/mm] hat ja auch zwei reelle Nullstellen.
So jetzt mit Gewähr 
[mm] $\to \ldots \to \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0&-H-3&7 \\ 0 & 1&H+2&-4\\0&0&-H^2-H+5&-6+4H \end{array}\right) [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
Zunächst mal Danke!
Genau. Das Beispiel ist ein bischen blöd, weil da schwachsinn rauskommt. Aber angenommen, man hätte anstatt [mm] H^2 [/mm] + H - 5 einfach [mm] H^2 [/mm] + H - 4, dann würden also z.B. für die beiden Nullstellen auf der linken Seite 1,5 und 2,5 rauskommen (nicht genau, aber es soll hier nur als Beispiel angenommen werden). Somit würde für H = 1,5 auf der rechten Seite auch 0 rauskommen, d.h. für H = 1,5 hätte das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Für 2,5 würde hingegen ein Wert ungleich 0 rauskommen, d.h. das Gleichungssystem hätte für H=2,5 keine Lösung.
Meine Frage noch: dadurch kann ich dann ja auch davon ausgehen, dass für alle anderen Werte von H (ungleich 1,5 und ungleich 2,5) das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (weil es ja nur zwei Nullstellen für die linke Seite gibt). Oder muss man für diese Aussage noch etwas anderes zeigen? Danke!
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> Zunächst mal Danke!
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> Genau. Das Beispiel ist ein bischen blöd, weil da
> schwachsinn rauskommt. Aber angenommen, man hätte anstatt
die Eigenwerte sind nicht schön aber es ist kein Schwachsinn. In dem Beispiel oben gibt es halt kein H für das dein Fall in der letzten Zeile "0=0" eintritt.
> [mm]H^2[/mm] + H - 5 einfach [mm]H^2[/mm] + H - 4, dann würden also z.B.
> für die beiden Nullstellen auf der linken Seite 1,5 und
> 2,5 rauskommen (nicht genau, aber es soll hier nur als
> Beispiel angenommen werden). Somit würde für H = 1,5 auf
> der rechten Seite auch 0 rauskommen, d.h. für H = 1,5
> hätte das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Für
> 2,5 würde hingegen ein Wert ungleich 0 rauskommen, d.h.
> das Gleichungssystem hätte für H=2,5 keine Lösung.
>
> Meine Frage noch: dadurch kann ich dann ja auch davon
> ausgehen, dass für alle anderen Werte von H (ungleich 1,5
> und ungleich 2,5) das Gleichungssystem eine eindeutige
> Lösung besitzt (weil es ja nur zwei Nullstellen für die
> linke Seite gibt). Oder muss man für diese Aussage noch
> etwas anderes zeigen? Danke!
>
>
Das LGS ist ja nichts weiteres als $Ax=b$ mit [mm] $A\in \IC^{n\times n},b,x\in \IC$ [/mm] oder reell. Wobei x Die gesuchte Lösung ist. Eindeutig lösen kannst du also nur, wenn A invertierbar ist.
Wenn gilt [mm] $H\in\{1.5,2.5\}$, [/mm] dann heißt das, dass die Matrix A eine Nullzeile enthält, defacto nicht invertierbar ist.
Du musst, wenn du alle Sonderfälle behandelt hast, nichts weiter zeigen.
[mm] $Ax=b\Leftrightarrow x=A^{-1}b$ [/mm] Die Lösung x ist jetzt eindeutig bestimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 So 27.06.2010 | | Autor: | Hubert12 |
Hallo!
Ok, das mit der invertierbarkeit war mir als Argument nicht klar. Danke nochmal!
Lg
Hubert
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
Ich kenne den Gaußalgorithmus nur so wie oben von mir angewendet. So rechnet es sich aber am Ende leichter und man erkennt auf anhieb freie und gebundene Variablen.
