Lineares Gleichungssystem < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen c ist das lineare Gleichungssystem
x-cy=1
(c-1)x-2y=1
(a) eindeutig lösbar?
(b) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar?
(c) nicht lösbar? |
Hallo,
ich würde das so machen:
x-cy=1
(c-1)x-2y=1
x-cy=1
cx-x-2y=1
x-cy=1
c-2y=1
c=-x/y
c=2y+1
hmmm..aber ich weiß nicht, ich glaube ich mache da was falsch..also stimmt der ansatz, oder ist das schon komplett falsch? also wie muss ich das lösen?
viele grüße
informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Fr 03.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> Für welche reellen Zahlen c ist das lineare
> Gleichungssystem
>
> x-cy=1
> (c-1)x-2y=1
>
> (a) eindeutig lösbar?
> (b) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar?
> (c) nicht lösbar?
> Hallo,
>
> ich würde das so machen:
>
> x-cy=1
> (c-1)x-2y=1
>
> x-cy=1
> cx-x-2y=1
also bis hierhin kann ich dir folgen.
zur erinnerung du hast ein gleichungssystem mit zwei variablen (x und y) und einem parameter (einer konstanten c).
man hat jetzt prinzipiell drei lösungsmöglichkeiten
additionsverfahren, so dass bei der addition eine variable rausfällt;
einsetzungsverfahren, auflösen nach einer variablen und ergebnis in andere gleichung einsetzen;
gleichsetzungsverfahren, gleichungen dazu so umformen dass eine variable auf einer seite beider gleichungen steht.
probieren wir das ganze mal mit dem einsetzungsverfahren:
Erste Gleichung nach x auflösen
x= 1+ cy
Ergebnis einsetzen in Zweite Gleichung
c(1+cy) - (1+cy) -2y = 1
Diese Gleichung nach y auflösen...
c + [mm] c^2*y [/mm] -1 -cy -2y = 1
c^2y -cy -2y = 2 -c
y ausklammern:
[mm] y*(c^2 [/mm] -c -2)= 2-c
einschränkung!! für [mm] c^2 [/mm] -c -2 [mm] \ne [/mm] 0
kann ich die gleichung durch diesen faktor teilen
[1. Frage: Was passiert, wenn [mm] c^2 [/mm] -c -2= 0 => c=-1 und c=2; Ergebnis für c=2 hat das Gleichungssystem beliebig viele Lösungen; für c=-1 keine Lösung]
y= [mm] \bruch{2-c}{c^2 -c -2}
[/mm]
solange der nenner nicht null wird (bereits ausgeschlossen, s.o.) und
c nicht ganz aus dem ausdruck "verschwindet, d.h. wenn
2 - c [mm] \ne c^2 [/mm] -c -2
hat das Gleichungssystem m.E. eine eindeutige Lösung.
Und wenn c aus dem ausdruck "verschwindet", dann hat das Gleichungssystem beleibig viele Lösungen, da c ja jeden beliebigen Wert annehmen kann...
--- oki, wann ist 2 -c = [mm] c^2 [/mm] -c - 2 ?
[mm] c^2 [/mm] -c -2 = 2 -c
[mm] c^2 [/mm] = 4
[mm] c_{1/2}= \pm [/mm] 2
ACHTUNG: hier fällt eine Lösung weg, da c=+2 nicht definiert ist, da man in diesem fall durch null teilen würden (obige gleichung).
prüfung ergibt, ich habe eine eine eindeutige Lösung auch für c=-2 ?!
oki.
gruss
wolfgang
irgendwo hakt es noch... :-(
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> moin,
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> > Für welche reellen Zahlen c ist das lineare
> > Gleichungssystem
> >
> > x-cy=1
> > (c-1)x-2y=1
> >
> > (a) eindeutig lösbar?
> > (b) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar?
> > (c) nicht lösbar?
> > Hallo,
> >
> > ich würde das so machen:
> >
> > x-cy=1
> > (c-1)x-2y=1
> >
> > x-cy=1
> > cx-x-2y=1
>
> also bis hierhin kann ich dir folgen.
>
> zur erinnerung du hast ein gleichungssystem mit zwei
> variablen (x und y) und einem parameter (einer konstanten
> c).
>
> man hat jetzt prinzipiell drei lösungsmöglichkeiten
> additionsverfahren, so dass bei der addition eine variable
> rausfällt;
> einsetzungsverfahren, auflösen nach einer variablen und
> ergebnis in andere gleichung einsetzen;
> gleichsetzungsverfahren, gleichungen dazu so umformen dass
> eine variable auf einer seite beider gleichungen steht.
>
> probieren wir das ganze mal mit dem einsetzungsverfahren:
>
> Erste Gleichung nach x auflösen
>
> x= 1+ cy
>
> Ergebnis einsetzen in Zweite Gleichung
>
> c(1+cy) - (1+cy) -2y = 1
>
> Diese Gleichung nach y auflösen...
>
>
> c + [mm]c^2*y[/mm] -1 -cy -2y = 1
>
> c^2y -cy -2y = 2 -c
>
> y ausklammern:
>
> [mm]y*(c^2[/mm] -c -2)= 2-c
>
> einschränkung!! für [mm]c^2[/mm] -c -2 [mm]\ne[/mm] 0
> kann ich die gleichung durch diesen faktor teilen
>
> [1. Frage: Was passiert, wenn [mm]c^2[/mm] -c -2= 0 => c=-1 und
> c=2; Ergebnis für c=2 hat das Gleichungssystem beliebig
> viele Lösungen; für c=-1 keine Lösung]
>
> y= [mm]\bruch{2-c}{c^2 -c -2}[/mm]
>
> solange der nenner nicht null wird (bereits ausgeschlossen,
> s.o.) und
> c nicht ganz aus dem ausdruck "verschwindet, d.h. wenn
>
> 2 - c [mm]\ne c^2[/mm] -c -2
>
> hat das Gleichungssystem m.E. eine eindeutige Lösung.
>
> Und wenn c aus dem ausdruck "verschwindet", dann hat das
> Gleichungssystem beleibig viele Lösungen, da c ja jeden
> beliebigen Wert annehmen kann...
>
> --- oki, wann ist 2 -c = [mm]c^2[/mm] -c - 2 ?
>
> [mm]c^2[/mm] -c -2 = 2 -c
>
> [mm]c^2[/mm] = 4
>
> [mm]c_{1/2}= \pm[/mm] 2
>
> ACHTUNG: hier fällt eine Lösung weg, da c=+2 nicht
> definiert ist, da man in diesem fall durch null teilen
> würden (obige gleichung).
>
> prüfung ergibt, ich habe eine eine eindeutige Lösung auch
> für c=-2 ?!
>
> oki.
>
> gruss
> wolfgang
>
> irgendwo hakt es noch... :-(
>
>
Hi,
danke für die Antwort!! ich kann dir folgen!
aber wie wären dann die ergebnisse..bei (a), (b), und (c) ..wäre das dann jedesmal c=-2, oder wie??
ich hab das mal durchgerechnet eben, aber ich bin mir nicht sicher..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Sa 04.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
im prinzip müsstest du z.b. c=2 in dein gleichungssystem einsetzen und dann die lösungen für x und y ausrechnen.
für c=2 gilt:
x-2y=1
(2-1)x-2y=1 => x-2y=1
hier habe ich beliebig viele lösungen, da ich zu jedem x ein y bestimmen kann, das das gleichungssystem erfülllt.
für c=-1 gilt:
x-(-1y)=1 => x+y=1
(-1-1)x-2y=1 => -2x-2y=1
ich löse wieder die erste gleichung nach x auf und setze das ergebnis in die zweite gleichung ein:
x=1-y
-2*(1-y)-2y=1
-2+2y-2y=1
-2=1 offensichtlich ist dies ein widerspruch => keine lösung.
usw.
gruß
wolfgang
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