Lineares GLS - Lösung gegeben < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Fr 29.04.2005 | | Autor: | zoe |
Hallo zusammen,
ich habe das Problem, dass ich die Lösung (eine Variable bzw. zweite Aufgabe zwei Variablen) eines homogenen 3x3 GLS gegeben habe und nun nicht weiß, bzw. nicht ganz schlüssig nachvollziehen kann, wie ich das Ganze von "hinten" aufrolle.
Bsp.: L = (5k+l, 3k, 2k-4l)
Über eine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar !
Fragende Grüße von zoe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo zoe,
> ich habe das Problem, dass ich die Lösung (eine Variable
> bzw. zweite Aufgabe zwei Variablen) eines homogenen 3x3 GLS
> gegeben habe und nun nicht weiß, bzw. nicht ganz schlüssig
> nachvollziehen kann, wie ich das Ganze von "hinten"
> aufrolle.
>
> Bsp.: L = (5k+l, 3k, 2k-4l)
Nachdem du von einem 3x3 System sprichst, hoffe ich, dass du mit Matritzen vertraut bist, falls nein, bitte ich um kurze Rückmeldung es geht mit [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] genauso.
In Matrix-Vektor-Schreibweise lässt sich dies auch so schreiben:
[mm]L = l \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ -4}+ k \cdot \vektor{5 \\ 3 \\ 2 }[/mm]
Hier gehe ich davon aus, dass k und l beliebig also [mm]k, l \in \IR[/mm] sind.
Dein Gleichungssystem heisst [mm]Ax=b[/mm] mit [mm] A \in \IR^{3\times3}[/mm] und [mm]b \in \IR^3[/mm].
Weil k und l beliebig sind (also auch 0 sein können), weißt du schon, dass [mm]b = 0[/mm].
Nun gilt: [mm]A \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ -4} = 0[/mm] und [mm] A \cdot \vektor{5 \\ 3 \\ 2 } = 0[/mm].
Man überlege sich noch, welche Dimension die Lösung hat, und welchen Rang dies dann für A zur Folge haben muss.
> Über eine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar !
Ich hoffe, dass du nun so Zurecht kommst.
Gruss,
Crispy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Sa 30.04.2005 | | Autor: | zoe |
Hallo Crispy, erst einmal danke, dass du mir helfen willst. Ich habe wohl selber eine Denkblockade, weil sich in mir festgesetzt hat: Lösung eines 3x3 GLS mit 1 Variable -> GLS abhängig von zwei Zeilen der Elementarumformung, Lösung eines 3x3 GLS mit zwei Variablen -> GLS abhängig von einer Zeile der Elementarumformung.
Aber so komme ich nicht weiter. Gesucht ist das GLS ...
Die Idee mit der Vektorschreibweise hatte ich auch und ich dachte mir, dass ich auch annehmen kann, dass k und l auch 1 sein können ..
Muss ich mir dann nur eine Gleichung "bauen" und die beiden anderen sind dann einfach Vielfache von der ersten?
Weiterfragend, da blockiert, zoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo zoe,
natürlich gibt es auch eine Lösung für uns Lehrämtler 
Wenn du dir die Lösungsmenge [mm] $\mathbb{L}=\left\{ \right\}$ [/mm] als Gerade vorstellst kannst du dir leicht eine Siutuation im [mm] $\IR^3$ [/mm] bauen. Da es sich ja um eine 3x3 Matrix handelt musst du also den Schnitt zwischen einer Geraden und einer Ebene betrachten - da aber die Lösungsmenge selbst eine/die Gerade ist muss also die Gerade in der Ebene enthalten sein! Damit muss der Richtungsvektor der Geraden linear abhängig zu den Spannvektoren der Ebene sein und der Aufpunkt/Stützvektor ein Punkt der Ebene sein. Wenn du dir so eine Ebene zu der gegebenen Geraden konstruierst kannst du das Gleichungssystem zu dem Schnittproblem aufstellen welches genau die gesuchte Lösungsmenge haben müsste!
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Sa 30.04.2005 | | Autor: | zoe |
Hallo und erst einmal vielen lieben Dank, dass ihr mir helft, meine Gedanken zu sortieren.
Ich habe nun den Weg über die Elementarmatrix angetreten und habe mir überlegt, dass wir gelernt haben, dass bei 2 Variablen in der Lösung, dass GLS von einer Zeile aussieht.
Meine Elementarmatrix hätte also die Form [mm] \pmat{ a & b & c & /0\\ 0 & 0 & 0 & /0 \\ 0 & 0 & 0 & /0}.
[/mm]
Dann habe ich eine Gleichung für die erste Zeile gebildet aus den Größen a, b, c und den gegebenen Werten für [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] und habe b und c Werte gegeben, die ein schlüssiges Ergebnis liefern und konnte dadurch a ausrechnen.
Als Werte habe ich für a= 4, b= [mm] -\bruch{22}{3}, [/mm] c= 1.
Damit habe ich die erste Zeile des Gleichungssystems und die beiden anderen Zeilen müssen Vielfache von der ersten Gleichung sein, da wir ja eben zwei Variablen haben.
Die Kontrolle war positiv.
Habe ich Gedankenfehler?
Liebe Grüße von zoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 So 01.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe zoe
ich will mich auch einmal einmischen. Da denkt ihr doch alle viel zu kompliziert! Die Beschäftigung mit Mathematik hat euch wohl den Blick fürs Einfache getrübt!
Es geht ja nur darum, die Parameter zu eliminieren.
Du hattest ja: $(5k+l, 3k, 2k-4l)$
Weil das $l_$ fast wie eine Eins aussieht, arbeite ich lieber mit $m_$ statt mit $l_$.
Also: $(5k+m, 3m, 2k-4m)$
Das bedeutet ja nichts anderes als das Gleichungssystem:
1) $x=5k+m_$
2) $y=3k_$
3) $z=2k-4m_$
Addierst das das 4-fache der ersten Gleichung zur dritten, ist das $m_$ (und die erste Gleichung) schon mal weg, und übrig bleibt:
I) $y=3k_$
II) $4x+z=22k_$
Jetzt muss noch das $k_$ weg, und es ergibt sich:
$12x-22y+3z=0$
Einsetzten von $x=5k+m$, $y=3k$ und $z=2k-4m$ bestätigt das Ergebnis. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 So 01.05.2005 | | Autor: | zoe |
Danke lieber Paulus *kuss*, jetzt sind mir auch die Augen aufgegangen ... Wenn ich mir deinen Weg ansehe, dann ist meiner um ein vielfaches komplizierter, aber *freu*, da ich ein Vielfaches von deiner Lösung raus habe, war ich doch wohl auch mit meiner komplizierten Lösung auf den richtigen Weg.
Sonntag vorerst mal gerettet *puh* ..
Schön, dass es euch gibt und ich euch gefunden habe !
Liebe Grüße von zoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 So 01.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe zoe
> Danke lieber Paulus *kuss*
Und zurück kommt ein tausenfacher *kuss*
Mit lieben Grüssen
Paul
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