Lineares GL.system mit 2 Unb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute!
Hab efolgendes GL.system mit Gauss gelöst:
[mm] x_{1} +x_{2} -2x_{3}+4 x_{4} [/mm] =5
2 [mm] x_{1}+2 x_{2} [/mm] -3 [mm] x_{3} +x_{4} [/mm] =3
[mm] 3x_{1} +3x_{2} -4x_{3} -2x_{4} [/mm] =1
[mm] \pmat{ 1 & 1 &-2 & 4|4 \\ 0 & 0 & 1 & -7 |-7 }
[/mm]
Ich Habe [mm] x_{2} [/mm] = t
[mm] x_{4}= [/mm] s
als frei wählbare Variablen gewählt!
Würde dann die vollstädig strukturierte Lösung so aussehen??:
x= [mm] \vektor{-10\\ 0\\-7\\0}+s \vektor{10 \\ 0\\7\\1}+t \vektor{-1 \\ 1\\0\\0}
[/mm]
folgt aus:
[mm] x_{1}= [/mm] -10+10s
[mm] x_{2}= [/mm] t
[mm] x_{3}=- [/mm] 7+7s
[mm] x_{4}= [/mm] s
Jetzt bin ich mir etwas unsicher, denn [mm] x_{3}, x_{4} [/mm] als frei wählbare variablen zu nehmen hat nicht hingehauen. (Warum eig. nicht?)
Kann mir jemand sagen ob die Lösung richtig ist?
viele grüße, LS
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Hallo Limschlimm,
Du hast also folgendes LGS gegeben:
[m]\pmat{
1 & 1 & { - 2} & 4 &\vline & 5 \\
2 & 2 & { - 3} & 1 &\vline & 3 \\
3 & 3 & { - 4} & { - 2} &\vline & 1 }[/m]
Daraus ergeben sich folgende Umformungen:
[m]\begin{gathered}
\mathop \Leftrightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{1te Zeile einmal mal 2 und einmal mal 3}} \\
{\text{und dann jeweils von der 2ten}} \\
{\text{und 3ten Zeile abziehen}}
\end{subarray}} \hfill \\
\hfill \\
\pmat{
1 & 1 & { - 2} & 4 &\vline & 5 \\
0 & 0 & 1 & { - 7} &\vline & { - 7} \\
0 & 0 & 2 & { - 14} &\vline & { - 14}} \hfill \\
\hfill \\
\mathop \Leftrightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{2te Zeile mal 2 genommen und}} \\
{\text{von der 3ten abgezogen}}
\end{subarray}} \hfill \\
\hfill \\
\pmat{
1 & 1 & { - 2} & 4 &\vline & 5 \\
0 & 0 & 1 & { - 7} &\vline & { - 7} \\
0 & 0 & 0 & 0 &\vline & 0} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und das entspricht folgendem LGS:
[m]\begin{gathered}
x_1 + x_2 - 2x_3 + 4x_4 = 5 \hfill \\
x_3 - 7x_4 = - 7 \hfill \\
\hfill \\
x_3 - 7s = - 7 \Leftrightarrow x_3 = - 7 + 7s \hfill \\
x_1 + t - 2x_3 + 4s = 5 \Rightarrow x_1 + t - 2\left( { - 7 + 7s} \right) + 4s = x_1 + t + 14 - 14s + 4s \hfill \\
= x_1 + t - 10s + 14 = 5 \Leftrightarrow x_1 = 5 - t + 10s - 14 \hfill \\
\hfill \\
x_1 = - t + 10s - 9 \hfill \\
x_2 = t \hfill \\
x_3 = 7s - 7 \hfill \\
x_4 = s \hfill \\
\hfill \\
\Rightarrow x = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)t + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{10} \\
0 \\
7 \\
1 \\
\end{array} } \right)s + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 9} \\
0 \\
{ - 7} \\
0 \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Ich denke, du hast einen kleinen Rechenfehler gemacht.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Di 15.03.2005 | | Autor: | Limschlimm |
Hi.
Ja, ich hab falsch abgeschrieben! :o
Auf der rechten seite (Gaussrechnung) hab ich anstatt 5 die 4 reingesetzt!
ansonsten hab ich dann auch das gleiche raus wie du.
Danke!
mfg, LS
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