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| Aufgabe | Gegeben sei ein Intervall I [mm] \subset \IR [/mm] und eine Tridiagonalmatrix A : [mm] I\to \IR^{n\times n} [/mm] mit stetigen Funktionen als Einträgen.
Gesucht ist ein Fundamentalsystem für das System linearer Differentialgleichungen:
[mm] \dot{X}=A(t)X(t)
[/mm]
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Meine Frage zielt nun auf den Lösungsweg dieser Art der Differentialgleichungen ab. Insbesondere wie man dieses Gleichungssystem entkoppeln kann. Denn es liegt ja eine nichtkonstante Koeffizientenmatrix vor, womit eine Vorgehensweise über die Eigenwerte und Eigenvektoren und eine Diagonalisierung ja nicht zum Ziel führt.
Gibt es also eine allgemeine Strategie zur Lösungsauffindung dieser Art von Problemen.
Vielen Dank.
Hansilein
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Quote: Meine Frage zielt nun auf den Lösungsweg dieser Art der Differentialgleichungen ab. Insbesondere wie man dieses Gleichungssystem entkoppeln kann.
Ich habe hier Entkoppeln so verstanden, dass du das Gleichungssystem auf ein Autonmes System reduzieren möchtest. Dies bringt hier (glaube ich) nicht allzu viel, da man sonst die Linearität opfern müsste. D.h. wenn man die Variable t zu den s.g. unabhänigen hinzufügt, wie es eben die Methode ist beim "Autonomisieren einer gew. DG", ist die rechte Seite der Gleichung nun nicht mehr linear in allen abhängigen Variablen, also hat man es i.A. nicht mehr mit einem linearen System zu tun, und die Angelegenheit hat sich nciht vereinfacht.
(Dieser Ansatz würde nur was bringen, wenn A(t) linear in allen Koeffiziente wäre, also A(t) = t*A für A eine feste Matrix.)
Was die Information bringt, dass die Matrix A(t) eine Tridiagonalmatrix ist, weiss ich leider nicht - verringert aber höchst wahrscheinlich einfach die Komplexität.
Zum Fundamentalsystem:
-stelle zunächst fest, dass die Lösungen der Gleichung einen Vektorraum bilden
-betrachte eine Lösung zu einem Anfangswertproblem [mm] x(t_{0}) [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] und überlege, wie man die kanonische Basis für den [mm] \IR^{n} [/mm] mittels der Eigenschaft, das die Lösungen zu x' = Ax einen Vektorraum bilden auf eine solche für den Lösungsraum übertragen werden kann
Ich hoffe das hilft dir weiter...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Hansilein |
Vielen Dank erstmal für deine Anregungen.
Mit Entkoppeln meinte ich aber eigentlich, dass man folgende Form nur noch gegeben hat (wobei ich nicht weiß, ob man dies so einfach transformieren kann):
[mm] \dot{x}_{1}=c_{1}(t) x_{1}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \dot{x}_{n}=c_{n}(t)x_{n},
[/mm]
wobei [mm] x_{i} [/mm] die Einträge des Vektor X bezeichnen sollen und nicht wie bisher.
[mm] \dot{x}_{1}=a_{1,1}(t) x_{1}+a_{1,2}(t)x_{2}
[/mm]
[mm] \dot{x}_{2}=a_{2,1}(t) x_{1}+a_{2,2}(t)x_{2}+a_{2,3}(t)x_{3}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \dot{x}_{n-1}=a_{n-1,n-2}(t) x_{n-2}+a_{n-1,n-1}(t)x_{n-1}+a_{n-1,n}(t)x_{n}
[/mm]
[mm] \dot{x}_{n}=a_{n,n-1}(t)x_{n-1}+a_{n,n}(t)x_{n},
[/mm]
Die Tatsache, dass es eine Tridiagonalmatrix ist, vereinfacht nur die Berechnungen und sind in der numerischen Berechnung mit geringerer Komplexität zu berechnen.
Das System zu autonomisieren kam mir noch gar nicht, danke für den Tipp. Wobei ich auch glaube, dass das System nicht einfacher zu lösen wird.
A(t)=t*A gilt nicht.
Zum Fundamentalsystem: Mir fehlt ja leider noch der Lösungsweg zum Auffinden der Lösung, also ich kann noch kein Fundamentalsystem aufstellen, da ich noch keine Lösungen gefunden habe.
Mein Hauptaugenmerk liegt auf das Entkoppeln der Gleichung um dann die Lösungen nach der bekannten Theorie zu bestimmen (Trennung der Veränderlichen/ Variation der Konstanten)
Aber vielen Dank für Deine Bemühungen zu dieser Uhrzeit 
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Ich habe nun folgende Idee bekommen. Und will wissen, ob diese richtig ist
Ich würde nun das t in der Matrix A festhalten und die Eigenwerte bestimmen. Diese dann mit der gewohnten Theorie der Linearen DGL mit konstanter Matrix durchführen. Wronski-Determinante bestimmen. Dann wissen wir, wenn diese für ein t ungleich Null ist, ist sie es für alle Zeiten, wegen der Stetigkeit der Determinante. Und zu guter letzt würde ich in der Lösung die Abhängigkeit der Eigenwerte von t hinzufügen.
Wäre dies eine gültige Vorangehensweise?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 So 22.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Hansilein,
> Gegeben sei ein Intervall I [mm]\subset \IR[/mm] und eine
> Tridiagonalmatrix A : [mm]I\to \IR^{n\times n}[/mm] mit stetigen
> Funktionen als Einträgen.
> Gesucht ist ein Fundamentalsystem für das System linearer
> Differentialgleichungen:
> [mm]\dot{X}=A(t)X(t)[/mm]
>
>
> Meine Frage zielt nun auf den Lösungsweg dieser Art der
> Differentialgleichungen ab. Insbesondere wie man dieses
> Gleichungssystem entkoppeln kann. Denn es liegt ja eine
> nichtkonstante Koeffizientenmatrix vor, womit eine
> Vorgehensweise über die Eigenwerte und Eigenvektoren und
> eine Diagonalisierung ja nicht zum Ziel führt.
> Gibt es also eine allgemeine Strategie zur
> Lösungsauffindung dieser Art von Problemen.
Diese Art von Differentialgleichungen werden üblicherweise
mit dem ![[]](/images/popup.gif) Reduktionsverfahren von dAlembert gelöst.
>
> Vielen Dank.
> Hansilein
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Guten Abend MathePower.
Diese Art von Differentialgleichungen werden üblicherweise
mit dem Reduktionsverfahren von dAlembert gelöst.
Vielen Dank für Deinen Hinweis. Ich liege ja richtig, dass ich erst eine nicht triviale Lösung kennen muss, um dieses Verfahren anwenden zu können? Sprich durch Raten oder ähnliches?
Gibt es noch eine andere Möglichkeit für diese Art von nicht autnomen linearen DGL zum Auffinden der Lösung? Ähnlich dem Exponentialansatz für autonome Systeme?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 22.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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