Lineares Ausgleichsproblem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:00 Mo 11.03.2013 | | Autor: | DirkMueller |
| Aufgabe | | Wie löst man ein lineares Ausgleichsproblem, wenn die Singulärwerte bekannt sind? |
Ich weiß nicht, wie man diese Frage beantwortet.
Wenn man die Singulärwertzerlegung durchführt, dann hat man ja nicht nur die Singulärwerte, sondern auch die beiden Matrizen U und V': A = U [mm] \Sigma [/mm] V'.
Wenn man aber die Singulärwerte bereits hat, sind ja die beiden Matrizen U und V' unbekannt!?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Wenn ich dich recht verstehe, suchst du zu einer Anzahl von Messwertpaaren [mm] (x_i|y_i) [/mm] eine Gleichung der Form [mm] y_i=a*x_i+b, [/mm] die am besten zu den Paaren passt (Ausgleichsgerade). Diese wählt man üblicher Weise so, dass die Summe der Fehlerquadrate minimiert wird: a und b sind dann "optimal", wenn die Summe der Fehlerquadrate
[mm] \summe_{i=1}^{n}(y_i-a*x_i+b)^2 [/mm] minimal wird.
Gäbe es für a und b eine gemeinsame Lösung, die alle Gleichungen erfüllte, müsste diese das LGS [mm] y_i=a*x_i+b [/mm] lösen, in Matrizenschreibweise:
[mm] \pmat{ x_1 & 1 \\ x_2 & 1 \\... & ... \\x_n & 1 \\}*\vektor{a \\ b}=\vektor{y_1 \\y_2 \\... \\ y_n}
[/mm]
Da aber die Messwerte nicht alle ideal auf einer Geraden liegen, ist i.a. das LGS unlösbar.
Für eine solche Matrizengleichung [mm] A*\vektor{a \\ b}=y [/mm] gilt:
Eine "beste Annäherung" (Ausgleichsgerade), bei der die Summe der Fehlerquadrate minimiert wird, erhält man, indem man obige Matrizengleichung auf beiden Seiten mit der Transponierten Matrix [mm] A^T [/mm] Multipliziert und es dann löst.
Bilde also [mm] (A^T*A)*\vektor{a \\ b}=A^T*y. [/mm] Du erhältst nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten a und b und daraus eine eindeutige Lösung.
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@HJKweseleit
Ich danke dir für die Mühe und den Versuch die Frage zu beantworten!
Du erklärst, was ein lineares Ausgleichsproblem ist - Danke, das habe ich aber nicht gefragt.
Du schlägst vor, das lineare Ausgleichsproblem mit Hilfe von Normalengleichungen zu lösen - das habe ich nicht gefragt (außerdem ist dieses Verfahren die schlechteste Wahl wegen der numerischen Instabilität).
Meine Frage ist wörtlich so zu verstehen, wie ich sie gestellt habe. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mi 13.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mi 13.03.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
was nützen bzw. wozu braucht man die Matrizen U und V'
beim Lösen eines linearen Ausgleichsproblem?
Gruß
meili
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@meili
Stichwort Pseudoinverse bzw. Pseudonormallösung...
Es scheint allein mit Singulärwerten ohne die Matrizen U und V nicht zu gehen.
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