Lineare unabhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 So 07.10.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo, es geht um den Nachweis der lin. unabh. von Funktionen:
[mm] $a*f_1(x)+b*f_2(x)+c*f_3(x) [/mm] = 0 [mm] \quad \forall [/mm] x [mm] \in \IR \quad \Rightarrow [/mm] a=b=c=0$
Um das nachzuweisen, werden mit drei unterschiedlichen x-Stellen des Definitionsbereiches, drei Gleichungen mit der obigen Gleichung erzeugt und damit letztendlich ein lin. Gleichungssystem aufgestellt. Für diese x-Stellen kommt dann,z.B.,als Ergebniss a=b=c=0 raus, d.h., für diese x-Werte sind die Funktionen f1,f2,f3 lin. unabh..
Wie kann man sich nun das klar machen, das diese Aussage auch für alle anderen x-Stellen wahr ist?
Gruß
Takota
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Mo 08.10.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man sie an den 3 Punkten schon nicht linear kombinieren kann wie denn dann insgesamt?
du sagst es komm z.B a=b=c=0 raus lin unabh, sind sie nur wenn NUR a=b=c=0 eine Lösung ist.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 08.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, es geht um den Nachweis der lin. unabh. von
> Funktionen:
>
> [mm]a*f_1(x)+b*f_2(x)+c*f_3(x) = 0 \quad \forall x \in \IR \quad \Rightarrow a=b=c=0[/mm]
>
> Um das nachzuweisen, werden mit drei unterschiedlichen
> x-Stellen des Definitionsbereiches, drei Gleichungen mit
> der obigen Gleichung erzeugt und damit letztendlich ein
> lin. Gleichungssystem aufgestellt. Für diese x-Stellen
> kommt dann,z.B.,als Ergebniss a=b=c=0 raus, d.h., für
> diese x-Werte sind die Funktionen f1,f2,f3 lin. unabh..
So kannst Du das nicht ausdrücken, "für diese x -Werte...."
>
> Wie kann man sich nun das klar machen, das diese Aussage
> auch für alle anderen x-Stellen wahr ist?
Um nachzuweisen, dass [mm] f_1,f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] lin. unabhängig sind, ist zu zeigen:
aus
(*) [mm] a*f_1(x)+b*f_2(x)+c*f_3(x) [/mm] = 0
für alle x [mm] \in \IR, [/mm] folgt a=b=c=0.
Beachte, dass die Gleichung (*) für alle x [mm] \in \IR [/mm] erfült ist. Wenn nun schon drei verschiedene x- Werte das Resltat a=b=c=0 liefern, so bist Du fertig.
Ich mache Dir ein Beispiel aus dem Alltag: unser Gartenzaun hatte einen neuen Anstrich nötig. Da ich nur am Feierabend zu den Malerarbeiten kam, habe ich meiner Frau gesagt, dass ich etwa fünf Tage für die Arbeit brauche. Ich habe dann aber statt fünf Tage nur drei gebraucht. Niemand hat gefragt: "was ist nun mit den zwei verbleibenden Tagen ?" ......
>
> Gruß
> Takota
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Mo 08.10.2018 | | Autor: | Takota |
Guten Morgen und Danke für die Rückmeldung.
D.h. also, ich zeige die lin. Unabh. an 3 verschiedenen, beliebigen , Punkten aus dem Definitionsbereich und kann dann schließen, dass alle anderen Werte aus dem Definitionsbereich lin. Unabh. zeigen?
Das hat ja irgendwie einen "Induktiven" Charakter. Wie kann man da sicher sein, dass alle anderen Werte aus dem Definitionsbereich das gleiche Verhalten zeigen (lin. Unabh.)? Steckt da eine Eigenschaft von Funktionen dahinter? Klar ist mir, wenn lin. Unabh. bei 3 Punkten schon nicht klappt, dann brauch ich ja nicht mehr fragen, ob es bei den anderen Punkten auch nicht klappt. Denn dann sind die 3 Fkt. ja nicht mehr lin. unabhängig
LG
Takota
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Hiho,
> D.h. also, ich zeige die lin. Unabh. an 3 verschiedenen,
> beliebigen , Punkten aus dem Definitionsbereich und kann
> dann schließen, dass alle anderen Werte aus dem
> Definitionsbereich lin. Unabh. zeigen?
nein, du gehst die Sache falsch herum an.
Du hast die Gleichung:
$ [mm] a\cdot{}f_1(x)+b\cdot{}f_2(x)+c\cdot{}f_3(x) [/mm] = 0$
Es ist $a=b=c=0$ immer eine Lösung für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Mach dir das klar.
Die Frage ist: Gibt es noch andere Lösungen daneben?
Dann wären die [mm] $f_i$ [/mm] linear abhängig.
Theoretisch reicht es also aus eins der beiden Dinge zu zeigen:
1.) Es existiert ein [mm] $x\in\IR$ [/mm] für das nur die Lösung $a=b=c=0$ in Frage kommt.
2.) Zu jeder anderen Konstellation aus $a,b$ und $c$ findet sich immer ein $x [mm] \in\IR$ [/mm] so dass $ [mm] a\cdot{}f_1(x)+b\cdot{}f_2(x)+c\cdot{}f_3(x) \not= [/mm] 0$
Das ist aber im Allgemeinen meistens beides recht schwierig. Für besondere Funktionen [mm] $f_i$ [/mm] kann es aber durchaus sein, dass dies leichter ist.
Also macht man sich die Eigenschaften linearer Gleichungssysteme zu nutze:
Nehme ich 3 Stellen [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] erhalte ich 3 Gleichungen
$ [mm] a\cdot{}f_1(x_1)+b\cdot{}f_2(x_1)+c\cdot{}f_3(x_1) [/mm] = 0$
$ [mm] a\cdot{}f_1(x_2)+b\cdot{}f_2(x_2)+c\cdot{}f_3(x_2) [/mm] = 0$
$ [mm] a\cdot{}f_1(x_3)+b\cdot{}f_2(x_3)+c\cdot{}f_3(x_3) [/mm] = 0$
Bei geeigneter Wahl von [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] sind die entstehenden Gleichungen linear unabhängig und bei 3 linear unabhängigen Gleichungen mit den 3 Unbekannten a,b und c wissen wir aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme, dass es dann genau eine Lösung gibt. Da $a=b=c=0$ auf jeden Fall eine Lösung ist, ist sie damit auch die einzige.
Und wir sind fertig.
Das Ziel war es also, die sowieso bekannte Lösung als einzig gültige zu belegen. Und das schaffen wir eben mit 3 günstig gewählten Stellen.
> Das hat ja irgendwie einen "Induktiven" Charakter. Wie kann
> man da sicher sein, dass alle anderen Werte aus dem
> Definitionsbereich das gleiche Verhalten zeigen (lin.
> Unabh.)? Steckt da eine Eigenschaft von Funktionen
> dahinter? Klar ist mir, wenn lin. Unabh. bei 3 Punkten
> schon nicht klappt, dann brauch ich ja nicht mehr fragen,
> ob es bei den anderen Punkten auch nicht klappt. Denn dann
> sind die 3 Fkt. ja nicht mehr lin. unabhängig
Andersrum: Wenn lineare Abhängigkeit bei 3 Punkten nicht klappt, dann klappt sie nirgends!
Mit Induktion hat das aber nix zu tun… die funktioniert auf den reellen Zahlen auch gar nicht.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mo 08.10.2018 | | Autor: | Takota |
> Andersrum: Wenn lineare Abhängigkeit bei 3 Punkten nicht
> klappt, dann klappt sie nirgends!
Das ist die Stelle, wo ich mein Verständnissproblem habe.
Warum kann man das sagen: "...dann klappt sie nirgends!" ?
Warum bist du dir da so sicher?
Kannst du mir das bitte genauer erklären, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch 
> Mit Induktion hat das aber nix zu tun… die funktioniert
> auf den reellen Zahlen auch gar nicht.
Mit Induktion meine ich "vom Besonderen auf das Allgemeine schließen"
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Hiho,
> > Andersrum: Wenn lineare Abhängigkeit bei 3 Punkten nicht
> > klappt, dann klappt sie nirgends!
>
> Das ist die Stelle, wo ich mein Verständnissproblem habe.
> Warum kann man das sagen: "...dann klappt sie nirgends!"
> ?
> Warum bist du dir da so sicher?
> Mit Induktion meine ich "vom Besonderen auf das Allgemeine schließen"
Ich bin mir sicher, weil es stimmt 
Erst mal ein bisschen "larifari" von der Idee her erklärt: Sind die Funktionen linear abhängig, dann erst recht in den speziell gewählten Stellen [mm] $x_1,x_2,x_3$.
[/mm]
Zeigen wir nun, dass die Funktionen nicht in [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] linear abhängig sein können, dann können sie es grundsätzlich nicht sein.
Denn nehmen wir an, sie wären es trotzdem, wären sie es ja auch wieder in den Stellen [mm] $x_1,x_2,x_3$, [/mm] was ein Widerspruch wäre…
Nun mal mathematisch:
Vorweg eine Auffrischung eines Grundbegriffs der Aussagenlogik: Die Kontraposition.
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist logisch äquivalent zu [mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$.
Oder in Worten: "WENN A, DANN B" ist logisch äquivalent zu "WENN NICHT B, DANN NICHT A".
Das verwenden wir nun bei folgender Überlegung:
Wir setzen:
A - [mm] $f_1,f_2,f_3$ [/mm] sind linear abhängig
B - für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] sind die [mm] $f_i(x)$ [/mm] linear abhängig
C - für beliebige [mm] $x_1,x_2,x_3 \in \IR$ [/mm] sind die [mm] $f_i$ [/mm] linear abhängig in [mm] $x_1,x_2,x_3$.
[/mm]
Dann gilt offensichtlich:
$A [mm] \gdw [/mm] B$ - Das ist einfach die Definition
$B [mm] \Rightarrow [/mm] C$ - Sind die [mm] $f_i$ [/mm] in allen [mm] $x\in\IR$ [/mm] linear abhängig, dann erst recht in 3 beliebig gewählten Stellen.
D.h. es gilt auch $A [mm] \Rightarrow [/mm] C$ und wegen der Kontraposition damit auch [mm] $\neg [/mm] C [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$
Nun gilt aber:
[mm] $\neg [/mm] C$ - es existieren [mm] $x_1,x_2,x_3 \in \IR$ [/mm] so dass die [mm] f_i [/mm] linear unabhängig sind in [mm] $x_1,x_2,x_3$
[/mm]
[mm] $\neg [/mm] A$ - Die [mm] f_i [/mm] sind (überall) linear unabhängig.
D.h. in Worten ist [mm] $\neg [/mm] C [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$ nichts anderes als die gewünschte Folgerung:
Gibt es [mm] $x_1,x_2,x_3 \in \IR$ [/mm] so dass die [mm] f_i [/mm] linear unabhängig sind in [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] so sind die [mm] f_i [/mm] überall linear unabhängig.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mo 08.10.2018 | | Autor: | Takota |
Vielen Dank Gono.
Im Prinzip beruhen die ganzen Betrachtungen von Dir wohl auf der zweiwertigen Logik und dem Satz vom ausgschlossenen Dritten (tertium non datur). So wie in der Mahtematik üblich.
D.h., entweder die [mm] f_i [/mm] sind lin. abhängig oder (exclusives) sie sind
lin. unabhängig. Ein bischen von beidem gibt es damit nicht.
Ich dachte aber bisher so -vielleicht hätte es ja lokal so was "von beidem" geben können. Mich von diesem Gedanken zu lösen fällt mir aber momentan noch schwer, muß aber wohl diese Tatsache akzeptieren.
LG
Takota
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mi 10.10.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo Talota
ne gute Isee erstmal nur 2 funktionen zu untersuchen, wenn du dir sin(x) und cos(x) plotest, diehst du direkt und ohne Rechnung, dass wenn du sin mit a vergrößerst (oder verkleinerst und dasselbe miit b mit cos, dass die Addition der funktionen nie 0 ergeben können, obwohl sie sogar in unendlich vielen Punkten übereinstimmen. Wenn man 3 von denen aussucht kann man sie natürlich an den Punkten immer zur Übereinnstimmung bringen,
Wenn du es an dem Beispiel gesehen hast, wird dir vielleicht anschaulicher klar, dass wenn man 2 Funktionen nicht an 2 Punkten, wo sie sich nicht schneiden oder ein vielfaches schneiden nicht so kombinieren kann dass sie 0 ergeben, es sicher nicht für die gesamte funktion ergibt.
dein bsp mit cosh, [mm] e^x [/mm] und e^(-x) hast du mit den 3 Stellen nicht richtig berechnet, wenn du die ungenauen Näherungen der funktionswerte nimmst ergibt sich nicht 0 aber da du ja weisst, dass [mm] cosh(x)=(e^x+e^{-x}/2 [/mm] ist weisst du auch, dass das für x=1,x=2 und x=-3 auch richtig ist, also auch da a=1 b=c=-1/2 ist und nicht nur a=b=c=0 was natürlich auch ne Lösung ist.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mo 08.10.2018 | | Autor: | fred97 |
Hallo Gono,
>
> Nun mal mathematisch:
Bist Du sicher?
>
>
> Das verwenden wir nun bei folgender Überlegung:
>
> Wir setzen:
>
> A - [mm]f_1,f_2,f_3[/mm] sind linear abhängig
> B - für alle [mm]x \in \IR[/mm] sind die [mm]f_i(x)[/mm] linear abhängig
> C - für beliebige [mm]x_1,x_2,x_3 \in \IR[/mm] sind die [mm]f_i[/mm] linear
> abhängig in [mm]x_1,x_2,x_3[/mm].
>
Puuuuh!
Machen wirs mal so: die reellwertige Funktion [mm] f_1,f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] nennen wir gono in x, wenn die [mm] f_1(x), f_2(x), f_3(x) [/mm] linear abhängig sind.
Da die 3 Funktionswerte reelle Zahlen sind, sind je drei Funktionen gono in jedem x !
B ist also immer richtig. C ebenso.
> Dann gilt offensichtlich:
> [mm]A \gdw B[/mm] - Das ist einfach die Definition
Nein. Das ist, mit Verlaub, Unsinn.
Machen wirs kurz: Dein selbstgestrickter Begriff "linear abhängig in x ....." ist nicht besonders sinnvoll.
> [mm]B \Rightarrow C[/mm] - Sind die [mm]f_i[/mm] in allen [mm]x\in\IR[/mm] linear
> abhängig, dann erst recht in 3 beliebig gewählten
> Stellen.
>
> D.h. es gilt auch [mm]A \Rightarrow C[/mm] und wegen der
> Kontraposition damit auch [mm]\neg C \Rightarrow \neg A[/mm]
>
> Nun gilt aber:
> [mm]\neg C[/mm] - es existieren [mm]x_1,x_2,x_3 \in \IR[/mm] so dass die [mm]f_i[/mm]
> linear unabhängig sind in [mm]x_1,x_2,x_3[/mm]
Hier siehst Du es: dieser Fall tritt doch nie ein. Wie können 3 Zahlen linear unabhängig sein ???
Nicht böse sein
Gruß Fred
> [mm]\neg A[/mm] - Die [mm]f_i[/mm] sind (überall) linear unabhängig.
>
> D.h. in Worten ist [mm]\neg C \Rightarrow \neg A[/mm] nichts anderes
> als die gewünschte Folgerung:
>
> Gibt es [mm]x_1,x_2,x_3 \in \IR[/mm] so dass die [mm]f_i[/mm] linear
> unabhängig sind in [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] so sind die [mm]f_i[/mm] überall
> linear unabhängig.
>
> Gruß,
> Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Di 09.10.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo fred,
das wichtigste mal zuerst:
> Nicht böse sein
Bin ich nicht
Um ehrlich zu sein, bin ich mit meinen Ausformulierungen selbst nicht ganz glücklich gewesen und hab sowas erwartet....
Andererseits wollte ich die Sachen mehr in Textform ausdrücken anstatt einfach mehrere Gleichungen hinzuschreiben (dazu gleich mehr), weil ich davon ausgehe, dass der Erkenntnisgewinn beim Fragesteller mit Formeln noch und nöcher eher begrenzt gewesen wäre… und wenn ich die Nachfrage auf meinen Text richtig interpretiere, gab es den schon, trotz der unsauberen Formulierungen.
> > B - für alle [mm]x \in \IR[/mm] sind die [mm]f_i(x)[/mm] linear
> abhängig
> Da die 3 Funktionswerte reelle Zahlen sind, sind je drei
> Funktionen gono in jedem x !
Ja. Natürlich ist jedes [mm] $f_i(x)$ [/mm] nur eine reelle Zahl… ich bin daran gescheitert die gewünschten Aussagen hübsch in Worten wiederzugeben, ohne den Fragesteller mit Formeln und/oder Gleichungssystemen zu erschlagen.
> Machen wirs kurz: Dein selbstgestrickter Begriff "linear
> abhängig in x ....." ist nicht besonders sinnvoll.
Korrekt.
Ideen dazu, wie man analog zur linearen Unabhängigkeit die lineare Abhängigkeit mit [mm] $\forall [/mm] x$ oder [mm] $\exists [/mm] x$ schreiben kann?
Erstmal in Formeln, dann gerne auch in Worten.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 08.10.2018 | | Autor: | Takota |
Ich habe hier 3 Funktionen:
$f1=cosh(x)$
[mm] $f2=e^x$
[/mm]
[mm] $f3=e^{-x} [/mm] $
Mit linearem Gleichungssystem gelöst, bekomme ich
für x1=1, x2=2 und x3=-3, a=b=c=0 raus.
Sie sind aber in Wirklichkeit lin. abhängig, da es a=1, b=c=0,5 gibt.
Kann mir jemand das bitte erklären warum das LGS was anderes ergibt?
LG
Takota
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mo 08.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe hier 3 Funktionen:
>
> [mm]f1=cosh(x)[/mm]
> [mm]f2=e^x[/mm]
> [mm]f3=e^{-x}[/mm]
>
> Mit linearem Gleichungssystem gelöst, bekomme ich
> für x1=1, x2=2 und x3=-3, a=b=c=0 raus.
>
Das kann nicht sein. Zeig mal was Du gerechnet hast.
> Sie sind aber in Wirklichkeit lin. abhängig, da es a=1,
> b=c=0,5 gibt.
>
Eher mit a=1 und b=c=-0,5
> Kann mir jemand das bitte erklären warum das LGS was
> anderes ergibt?
>
> LG
> Takota
>
>
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Di 09.10.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo.
[mm] $c_1*sin(t) [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * cos(t) = 0$ , das soll auf lin. Unabhängigkeit untersucht werden.
Für:
[mm] $t_1 [/mm] = pi/4$
[mm] $t_2=1,25*pi$
[/mm]
Ergibt das LGS unendlich viele Lösungen [mm] \Rightarrow [/mm] Funktionen sind lin. abhängig
Für
[mm] $t_3= [/mm] pi/2$
[mm] $t_4 [/mm] = pi$
Ergibt das LGS eindeutige Lösung [mm] \Rightarrow [/mm] Funktionen sind lin. unabhängig
Das wäre ja ein Widerspruch. Was ist nun richtig?
Gruß
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Di 09.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
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> [mm]c_1*sin(t) + c_2 * cos(t) = 0[/mm] , das soll auf lin.
> Unabhängigkeit untersucht werden.
>
> Für:
> [mm]t_1 = pi/4[/mm]
> [mm]t_2=1,25*pi[/mm]
>
> Ergibt das LGS unendlich viele Lösungen [mm]\Rightarrow[/mm]
> Funktionen sind lin. abhängig
Diese Folgerung ist nicht richtig !
>
> Für
> [mm]t_3= pi/2[/mm]
> [mm]t_4 = pi[/mm]
>
> Ergibt das LGS eindeutige Lösung
Ja, nämlich [mm] c_1=c_2=0.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Funktionen
> sind lin. unabhängig
Stimmt.
>
> Das wäre ja ein Widerspruch.
Wir haben keinen Widerspruch !
> Was ist nun richtig?
Die Funktionen sind linear unabhängig !
Wir haben
[mm]c_1*sin(t) + c_2 * cos(t) = 0[/mm] und zwar für alle t [mm] \in \IR.
[/mm]
Deine erste Wahl von [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] liefert [mm] c_1+c_2=0. [/mm] Das ist O.K., aber Deine erste Wahl ist einfach ungeschickt, um die ganze Wahrheit zu erfahren.
Da ist Deine zweite Wahl schon besser.
Hast Du das
https://matheraum.de/read?i=1092869
gelesen ?
>
> Gruß
> Takota
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 09.10.2018 | | Autor: | Takota |
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> > Was ist nun richtig?
>
> Die Funktionen sind linear unabhängig !
>
> Wir haben
>
> [mm]c_1*sin(t) + c_2 * cos(t) = 0[/mm] und zwar für alle t [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Deine erste Wahl von [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] liefert [mm]c_1+c_2=0.[/mm] Das ist
> O.K.,
Warum ist das OK? Wie interpretierst du das? Kannst du mir das bitte erklären.
aber Deine erste Wahl ist einfach ungeschickt, um die
> ganze Wahrheit zu erfahren.
>
> Da ist Deine zweite Wahl schon besser.
>
> Hast Du das
>
> https://matheraum.de/read?i=1092869
>
> gelesen ?
Ja. Aber das muß ich mir noch später besser zu Gemüte führen.
> >
> > Gruß
> > Takota
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Di 09.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> >
> > > Was ist nun richtig?
> >
> > Die Funktionen sind linear unabhängig !
> >
> > Wir haben
> >
> > [mm]c_1*sin(t) + c_2 * cos(t) = 0[/mm] und zwar für alle t [mm]\in \IR.[/mm]
>
> >
> > Deine erste Wahl von [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] liefert [mm]c_1+c_2=0.[/mm] Das ist
> > O.K.,
>
> Warum ist das OK? Wie interpretierst du das?
Da gibts nichts zu interpretieren. Wir haben zunächst [mm] c_1+c_2=0.
[/mm]
> Kannst du mir
> das bitte erklären.
Schaun wir mal, ob wir nicht noch mehr rausbekommen. Wir haben also [mm] c_2=-c_1 [/mm] und damit
[mm] c_1 \sin(t)=c_1 \cos(t) [/mm] für alle t.
Nun nehmen wir an, es sei [mm] c_1 \ne [/mm] 0. Dann folgt
[mm] \sin(t)= \cos(t) [/mm] für alle t.
Das ist aber völliger Quatsch. Somit muss [mm] c_1=0 [/mm] sein, und damit auch [mm] c_2=0.
[/mm]
Bingo !
Fassen wir zusammen:
mit Deiner ersten Wahl von [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] kommen wir mit zusätzlichen Überlegungen auf [mm] c_1=c_2=0.
[/mm]
Mit Deiner zweiten Wahl erhalten wir das gleiche, aber viel schneller.
>
> aber Deine erste Wahl ist einfach ungeschickt, um die
> > ganze Wahrheit zu erfahren.
> >
> > Da ist Deine zweite Wahl schon besser.
> >
> > Hast Du das
> >
> > https://matheraum.de/read?i=1092869
> >
> > gelesen ?
>
> Ja. Aber das muß ich mir noch später besser zu Gemüte
> führen.
>
> > >
> > > Gruß
> > > Takota
> > >
> >
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