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| Aufgabe | [mm] v_{t}=\pmat{ 2 & -1 \\ 0 & 1 } v_{x} [/mm]
Anfangsbedingung: v(x,0)= [mm] \vektor{x \\ cos(x)}
[/mm]
Lösen Sie die partielle Dgl mittels Transformation der Matrix in Diagonalgestalt. |
hallo zusammen,
[mm] \lambda_{1}=2 [/mm] mit eigenvektor [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=1 [/mm] mit eigenvektor [mm] u_{2}=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] T=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] T^{-1}=\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
nun benutze ich die formel:
[mm] w_{t}=Bw_{x}=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }w_{x}, [/mm] wobei B=diag(eigenwerte) bzw. [mm] T^{-1}*A*T [/mm] = B
daraus bekommt man 2 gleichungen:
[mm] w_{1,t}=2w_{1,x}
[/mm]
[mm] w_{2,t}=w_{2,x}
[/mm]
nun kann ich den folgenden schritt nicht erklären:
es wird gesagt laut der musterlösung:
[mm] w_{1}(x,t)= h_{1}(-2t-x)
[/mm]
[mm] w_{2}(x,t)= h_{2}(-t-x)
[/mm]
nur kann ich das nicht anhand des skripts nachvollziehen.
kann einer mir evtl da eine formel geben bzw. erklären wie man darauf kommt
Viele Grüße
Mathe_001
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Hallo Mathe_001,
> [mm]v_{t}=\pmat{ 2 & -1 \\ 0 & 1 } v_{x}[/mm]
>
> Anfangsbedingung: v(x,0)= [mm]\vektor{x \\ cos(x)}[/mm]
>
> Lösen Sie die partielle Dgl mittels Transformation der
> Matrix in Diagonalgestalt.
>
> hallo zusammen,
>
> [mm]\lambda_{1}=2[/mm] mit eigenvektor [mm]u_{1}=\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{2}=1[/mm] mit eigenvektor [mm]u_{2}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]T=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] und [mm]T^{-1}=\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> nun benutze ich die formel:
> [mm]w_{t}=Bw_{x}=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }w_{x},[/mm] wobei
> B=diag(eigenwerte) bzw. [mm]T^{-1}*A*T[/mm] = B
>
> daraus bekommt man 2 gleichungen:
>
> [mm]w_{1,t}=2w_{1,x}[/mm]
> [mm]w_{2,t}=w_{2,x}[/mm]
>
> nun kann ich den folgenden schritt nicht erklären:
> es wird gesagt laut der musterlösung:
> [mm]w_{1}(x,t)= h_{1}(-2t-x)[/mm]
> [mm]w_{2}(x,t)= h_{2}(-t-x)[/mm]
>
> nur kann ich das nicht anhand des skripts nachvollziehen.
>
> kann einer mir evtl da eine formel geben bzw. erklären wie
> man darauf kommt
>
Hier wurde eine lineare Transformation angesetzt:
[mm]w_{1}(x,t)= h_{1}(at+bx)[/mm]
[mm]w_{2}(x,t)= h_{2}(ct+dx)[/mm]
Zur Ermittlung der Werte a,b,c,d wurde dies in die DGL
[mm]w_{t}=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }w_{x}[/mm]
eingesetzt.
>
> Viele Grüße
>
> Mathe_001
>
Gruss
MathePower
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hallo,
somit komme ich auf
a=2b und c=d
kann ich also b und d bzw a und c beliebig wählen?
wäre dies der fall kommen bei mir als lösung verschiedene ergebnisse raus ... :(
ich hab es zwar mit der formel für inhomogene transportgleichungen umgangen, aber möchte es trotzdem verstehen :)
gruß
Mathe_001
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Hallo Mathe_001,
> hallo,
>
> somit komme ich auf
>
> a=2b und c=d
>
> kann ich also b und d bzw a und c beliebig wählen?
>
Es ergibt sich doch jetzt:
[mm]w_{1}}\left(x,t\right)=h_{1}\left(2b*t+b*x\right)=h_{1}\left(2t+x\right)[/mm]
[mm]w_{2}}\left(x,t\right)=h_{2}\left(d*t+d*x\right)=h_{2}\left(t+x\right)[/mm]
> wäre dies der fall kommen bei mir als lösung verschiedene
> ergebnisse raus ... :(
>
> ich hab es zwar mit der formel für inhomogene
> transportgleichungen umgangen, aber möchte es trotzdem
> verstehen :)
>
> gruß
>
> Mathe_001
>
Gruss
MathePower
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