Lineare abbildungen bestimmen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f : [mm] k^{2} [/mm] -> [mm] k^{2}, [/mm] f(x, y) = (−y,−x)
Ist die angegebene Abbildung linear? |
wir hatten die Abbildung noch nicht (Übung ist mal wieder weiter als die Verlesung) - hier im Forum habe ich aber gelesen dass für eine lineare Abbildung folgendes gelten muss:
f(x)+f(y)=f(x+y)
af(x)=f(ax)
ich hätte das jetzt mal versucht:
f [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] + f [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{-y \\ -x} [/mm] + [mm] \vektor{-b \\ -a} [/mm] = [mm] \vektor{-y-b \\ -x-a}
[/mm]
f [mm] \vektor{x+a \\ y+b} [/mm] = [mm] \vektor{-(y+b) \\ -(x+a)} [/mm] = [mm] \vektor{-y-b \\ -x-a}
[/mm]
f [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = f [mm] \vektor{x+a \\ y+b}
[/mm]
und
af [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = a [mm] \vektor{-y \\ -x} [/mm] = [mm] \vektor{-ay \\ -ax}
[/mm]
f [mm] \vektor{ax \\ ay} [/mm] = [mm] \vektor{-(ay) \\ -(ax)} [/mm] = [mm] \vektor{-ay \\ -ax}
[/mm]
af [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = f [mm] \vektor{ax \\ ay}
[/mm]
Beide Bedingungen sind erfüllt und damit würde es sich um eine lin. Abbildung handeln.
Wird das so gemacht? Hab keinen blassen Schimmer ob das vollständig und richtig ist.
Wäre nett wenn ihr mir da helfen könntet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 29.11.2006 | | Autor: | statler |
> f : [mm]k^{2}[/mm] -> [mm]k^{2},[/mm] f(x, y) = (−y,−x)
> Ist die angegebene Abbildung linear?
> wir hatten die Abbildung noch nicht (Übung ist mal wieder
> weiter als die Verlesung) - hier im Forum habe ich aber
> gelesen dass für eine lineare Abbildung folgendes gelten
> muss:
> f(x)+f(y)=f(x+y)
> af(x)=f(ax)
>
> ich hätte das jetzt mal versucht:
> f [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] + f [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] = [mm]\vektor{-y \\ -x}[/mm]
> + [mm]\vektor{-b \\ -a}[/mm] = [mm]\vektor{-y-b \\ -x-a}[/mm]
>
> f [mm]\vektor{x+a \\ y+b}[/mm] = [mm]\vektor{-(y+b) \\ -(x+a)}[/mm] =
> [mm]\vektor{-y-b \\ -x-a}[/mm]
>
> f [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] + [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] = f [mm]\vektor{x+a \\ y+b}[/mm]
Besser andere Reihenfolge:
f [mm](\vektor{x \\ y}[/mm] + [mm]\vektor{a \\ b})[/mm] = f ([mm]\vektor{x+a \\ y+b}[/mm]) = [mm]\vektor{-(y+b) \\ -(x+a)}[/mm] =
[mm]\vektor{-y-b \\ -x-a}[/mm] = [mm]\vektor{-y \\ -x}[/mm]
+ [mm]\vektor{-b \\ -a}[/mm] = f [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] + f [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
> und
>
> af [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = a [mm]\vektor{-y \\ -x}[/mm] = [mm]\vektor{-ay \\ -ax}[/mm]
>
> f [mm]\vektor{ax \\ ay}[/mm] = [mm]\vektor{-(ay) \\ -(ax)}[/mm] = [mm]\vektor{-ay \\ -ax}[/mm]
>
> af [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = f [mm]\vektor{ax \\ ay}[/mm]
>
> Beide Bedingungen sind erfüllt und damit würde es sich um
> eine lin. Abbildung handeln.
So isset!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Aufgabe | 2) f : [mm] k^{2} [/mm] -> k, f(x, y) = x + y + 1
3) f : [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC, [/mm] f(z) = [mm] \neg [/mm] z (für k = [mm] \IC)
[/mm]
4) f : [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC, [/mm] f(z) = [mm] \neg [/mm] z (für k = [mm] \IR)
[/mm]
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okay, danke für die schnelle Antwort.
Habe jetzt noch die anderen Aufgaben eingestellt:
2)
f [mm] (\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{a \\ b}) [/mm] = f [mm] \vektor{x+a \\ y+b} [/mm] = (x+a)+(y+b)+1 = (x+y)+(a+b)+1
f [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] f\vektor{a \\ b} [/mm] = x+y+1 + a+b+1 = (x+y)+(a+b) + 2
f [mm] (\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{a \\ b}) \not= [/mm] f [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] f\vektor{a \\ b}
[/mm]
damit ist die Abbildung nicht linear
3) zuerst: mit [mm] \neg [/mm] z meine ich "querstrich" z - das dürfte doch das Gleiche sein
z=a+ib; d=m+in
f(z + d) = [mm] \neg [/mm] (a+ib+m+in) = [mm] \neg [/mm] (a+m+i(b+n)) = a+m - i(b+n)
f(z) + f(d) = a-ib + m-in = a+m - i(b+n)
f(z + d) = f(z) + f(d)
und
xf(z) = x(a-ib) = ax - ixb
f(xz) = [mm] \neg [/mm] (ax + ixb) = ax - ixb
xf(z) = f(xz)
Damit ist die Abbildung linear.
(hoffentlich - die komplexen Zahlen sind ganz und gar nicht meins)
4) da hab ich keinen blassen Schimmer wie sich die Ausgangssituation verändert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mi 29.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
> 2) f : [mm]k^{2}[/mm] -> k, f(x, y) = x + y + 1
> 3) f : [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC,[/mm] f(z) = [mm]\neg[/mm] z (für k = [mm]\IC)[/mm]
> 4) f : [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC,[/mm] f(z) = [mm]\neg[/mm] z (für k = [mm]\IR)[/mm]
>
> okay, danke für die schnelle Antwort.
> Habe jetzt noch die anderen Aufgaben eingestellt:
>
> 2)
> f [mm](\vektor{x \\ y}[/mm] + [mm]\vektor{a \\ b})[/mm] = f [mm]\vektor{x+a \\ y+b}[/mm]
> = (x+a)+(y+b)+1 = (x+y)+(a+b)+1
> f [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] + [mm]f\vektor{a \\ b}[/mm] = x+y+1 + a+b+1 =
> (x+y)+(a+b) + 2
>
> f [mm](\vektor{x \\ y}[/mm] + [mm]\vektor{a \\ b}) \not=[/mm] f [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> + [mm]f\vektor{a \\ b}[/mm]
>
> damit ist die Abbildung nicht linear
Bei lin. Abb. ist übrigens immer f(0) = 0, hier nicht.
> 3) zuerst: mit [mm]\neg[/mm] z meine ich "querstrich" z - das dürfte
> doch das Gleiche sein
Den Querstrich gibt es: [mm] \overline{z}
[/mm]
> z=a+ib; d=m+in
> f(z + d) = [mm]\neg[/mm] (a+ib+m+in) = [mm]\neg[/mm] (a+m+i(b+n)) = a+m -
> i(b+n)
> f(z) + f(d) = a-ib + m-in = a+m - i(b+n)
>
> f(z + d) = f(z) + f(d)
>
> und
> xf(z) = x(a-ib) = ax - ixb
> f(xz) = [mm]\neg[/mm] (ax + ixb) = ax - ixb
> xf(z) = f(xz)
>
> Damit ist die Abbildung linear.
Jetzt hast du das gezeigt, wenn x eine reelle Zahl ist, also hast du 4) gelöst!
> (hoffentlich - die komplexen Zahlen sind ganz und gar
> nicht meins)
>
> 4) da hab ich keinen blassen Schimmer wie sich die
> Ausgangssituation verändert
s. o. (x kann jetzt komplex sein)
Gruß
Dieter
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jup, viel mir auch grade ein:
also
3)
Addition ist gleich (entspricht ja der von 4))
x = m+in
xf(z) = (m+in)(a-ib) = ma-imb+ian-i²nb = ma-imb+ian+nb = ma+nb-i(mb-an)
f(xz)= [mm] \overline{(m+in)(a+ib)} [/mm] = [mm] \overline{ma-nb+i(an+bm} [/mm] = ma-nb - i(an+bm)
xf(z) [mm] \not= [/mm] f(xz)
die abbildungen sind nicht linear
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 29.11.2006 | | Autor: | statler |
Tach noch mal!
> jup, viel mir auch grade ein:
> also
> 3)
> Addition ist gleich (entspricht ja der von 4))
>
> x = m+in
> xf(z) = (m+in)(a-ib) = ma-imb+ian-i²nb = ma-imb+ian+nb =
> ma+nb-i(mb-an)
>
> f(xz)= [mm]\overline{(m+in)(a+ib)}[/mm] = [mm]\overline{ma-nb+i(an+bm}[/mm] =
> ma-nb - i(an+bm)
>
> xf(z) [mm]\not=[/mm] f(xz)
Schlecht formuliert, weil es ja für gewisse x - nämlich reelle - richtig ist; besser einfach ein Gegenbeispiel angeben.
> die abbildungen sind nicht linear
Besser: Diese Abbildung ist nicht linear.
Jetzt hat das Nörgeln ein Ende
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mi 29.11.2006 | | Autor: | celeste16 |
nörgel ruhig - tut mit gut 
danke für deine Hilfe
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