Lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi!
Folgendes, eigentlich triviales Problem (glaub ich zumindest), habe ich:
Wie beweist man die lineare Unabhängigkeit von sin(x) und cos(x) ???
Es muss doch dann gelten: a*sin(x)+b*cos(x)=0 , mit a,b aus R.
Folglich muss also a*sin(x)=-b*cos(x) sein. Setze für x=pi/2 ein, dann folgt daraus, dass a und b=0 ist. Aber daraus folgt doch noch nicht die lineare Unabhängigkeit, oder?? Es ist doch dann nur für den Wert pi/2 und den Vielafachen a und b=0?? Für x=1 zum Beispiel gibt es doch auch andere Lösungen für a und b... *voll nicht durchblick*
Danke schon mal für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Do 21.04.2005 | | Autor: | choosy |
na fast,
lineare unabhängikeit folgt aus der eindeutigen darstellung der 0, d.h.
[mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] sind linear unabhängig, wenn folgendes gilt:
[mm] ($a\sin [/mm] + [mm] b\cos [/mm] = 0 [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] a=b=0$)
ich denke die schreibweise ohne x ist eingehender, denn so ist deutlicher was gemeint ist. die $0$ rechts bedzeichnet nämlich die funktion konstant 0.
man könnte also auch schreiben:
[mm] $(\forall x\in [/mm] R$ gilt [mm] $a\sin(x) [/mm] + [mm] b\cos(x) [/mm] = 0 [mm] )\quad \Rightarrow \quad [/mm] a=b=0$
für alle x heisst aber insbesondere für x=0,
weshalb folgt das a=b=0 die EINDEUTIGE darstellung der 0 gibt.
|
|
|
|
