Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 20.11.2007 | | Autor: | zazaza |
| Aufgabe | | Die Funktion sin(x), cos(x) und [mm] sin(\pi [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] sind auf [0,1] definiert und stetig. Also sind dies Vektoren des [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] C [0,1]. Sind sie linear unabhängig? Begründen sie! |
Also ich habe diese Funktionen, ich kann sie doch jeweils z.B. [mm] \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y} [/mm] und [mm] \overrightarrow{z} [/mm] nennen? Um zu beweissen dass sie linear unabhängig sind setzte ich sie in die Bedingungsformel [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i \overrightarrow{a}_i [/mm] = [mm] \overrightarrow{o} [/mm] ein? Nur was dann? mal angenommen ich habe sie eingesetzt, kann ich dann einfach z.B. die x-en ausklammer? und wie behandele ich des PI? oder muss ich da anders vorgehen? also die nächsten 2 schritte wären sehr toll!
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt!!
|
|
| |
|
Hi, zazaza,
> Die Funktion sin(x), cos(x) und [mm]sin(\pi[/mm] + [mm]\bruch{\pi}{3})[/mm]
Ich geh' mal davon aus, das der letzte Funktionsterm sin [mm] (\red{x} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] ist
(sonst ist's bloß 'ne Konstante und die Aufgabe eher sinnlos!)
> sind auf [0,1] definiert und stetig. Also sind dies
> Vektoren des [mm]\IR-Vektorraumes[/mm] C [0,1]. Sind sie linear
> unabhängig? Begründen sie!
> Also ich habe diese Funktionen, ich kann sie doch jeweils
> z.B. [mm]\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}[/mm] und [mm]\overrightarrow{z}[/mm] nennen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Um zu beweisen, dass sie linear
> unabhängig sind setzte ich sie in die Bedingungsformel
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i \overrightarrow{a}_i[/mm] = [mm]\overrightarrow{o}[/mm] ein?
> Nur was dann? mal angenommen ich
> habe sie eingesetzt, kann ich dann einfach z.B. die x-en ausklammern?
Wie soll denn das bitte gehen?!
Also: Laut Additionstheoremen für trig.Fkt. gilt:
sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) (Formelsammlung!)
Bei Dir: [mm] sin(x+\bruch{\pi}{3}) [/mm] = [mm] sin(x)*cos(\pi/3) [/mm] + [mm] cos(x)*sin(\pi/3)
[/mm]
und somit: [mm] sin(x+\bruch{\pi}{3}) [/mm] = 1/2*sin(x) + [mm] 1/2*\wurzel{3}*cos(x)
[/mm]
und folglich sind die drei "Vektoren" linear abhängig.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
