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| Aufgabe | | Sei T [mm] \subseteq \IR^n\{0} [/mm] mit v senkrecht zu w für alle v [mm] \ne [/mm] w in T. Zeige, dass T linear unabhängig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe mir zu der Aufgabe überlegt, dass ich ja einfach die kanonische Basis nehmen kann, also {1,0,...,0},...,{0,...,0,1}, denn dann sind die Vektoren ja auf jeden Fall senkrecht zueinander. Kann ich das so machen oder ist das zu speziell für die Aufgabe?
Danke schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Di 23.05.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
die Frage kann unmöglich genau so gelautet haben. Zu was soll T linear unabhängig sein? T ist doch ein Untervektorraum, oder was?
Wenn es einfach eine Menge ist, dann wäre die Aussage im R3 schon falsch: Eine Ebene und ihr Normalenvektor würden auf die Voraussetzung passen, aber die Vektoren in der Ebene sind voneinander abhängig.
Grüße,
Andreas
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Ja, ich hab mich da ein bisschen vertippt, also es heißt T enthalten in [mm] R^n \{0}. [/mm] Aber ansonsten stimmt die Aufgabenstellung.
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mhh, schon wieder falsch, also ich meine [mm] R^n [/mm] ohne {0}. vielleicht klappt es ja jetzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mo 29.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
als T gleich die kanonische Basis zu nehmen ist schon ziemlich gewagt. Wenn man den Satz schon beweisen hätte wäre es O.K., aber so weit sind wir halt noch nicht...
Ich skizziere mal den Anfang, dann kommst Du denke ich alleine weiter.
Bezeichne also erstmal die Vektoren von T als [mm] v_0,....,v_k. [/mm] Um zu zeigen, dass diese linear unabhängig sind muss man ja zeigen, dass die Gleichung [mm] \sum_{i=0}^k \lambda_i v_i [/mm] nur die triviale Lösung hat.
Angenommen, dem wäre nicht so. Dann wäre eines der [mm] \lambda [/mm] ungleich 0, o.B.d.A. sei das [mm] \lambda_0. [/mm] Dann können wir nach [mm] v_0 [/mm] auflösen:
[mm]v_0 = \bruch{1}{\lambda_0}\sum_{i=1}^k \lambda_i v_i[/mm]
Und jezt bilde damit mal für alle [mm]i \in {1,\ldots,k}[/mm] das Skalarprodukt [mm][/mm]. Was folgt daraus?
Gruß
piet
P.S. Den Schrägstrich kriegst Du durch [mm] \mbox{\backslash backslash} [/mm] als [mm] \backslash, [/mm] durch [mm]\mbox{\backslash setminus}[/mm] als [mm] \setminus [/mm] (sieht eigentlich genauso aus....) und durch [mm] \mbox{\backslash smallsetminus} [/mm] als [mm] \smallsetminus[/mm]
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Danke erst mal. Hab das jetzt so gemacht, wie du vorgeschlagen hast und dann komme ich darauf, dass [mm] \lambda_1,...,\lambda_k [/mm] = 0 sind, aber dann ist ja immer noch [mm] \lambda_0 \not= [/mm] und damit ist ja noch nicht gezeigt, dass T linear unabhängig ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 30.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Aber wenn die [mm] \lambda_1 [/mm] bis [mm] \lambda_n [/mm] alle 0 sind, dann ist ja nach der Formel auch [mm] v_0=0 [/mm] - und das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass T nicht den Nullvektor enthält.
Also war wohl die Annahme "linear abhängig" falsch - w.z.b.w.
Gruß
piet
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Super danke schön, hast mir seht geholfen!!!
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