Lineare (Un-)Abhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Leute,
schaut mal bitte hier:
http://www.realhomepage.de/members/SuperTTT/mehr1.html
Ich blicke da leider nicht durch, wann etwas linear abhängig ist und wann nicht. Bei der 3a hat der rechte Vektor jeweils doppelt so viel wie der linke, daher gehe ich mal davon aus, dass der linear abhängig ist, oder?
Aber wie ist das dann bei den anderen?
Wäre nett, wenn mir mal jemand eine Aufgabe vormachen würde und es mir dabei erklärt.
Danke im Voraus.
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Hallo!
> schaut mal bitte hier:
> http://www.realhomepage.de/members/SuperTTT/mehr1.html
![[knirsch]](/images/smileys/knirsch.gif "[knirsch]") Ein bisschen mehr wäre da schon drin gewesen...
> Bei der 3a hat der rechte
> Vektor jeweils doppelt so viel wie der linke, daher gehe
> ich mal davon aus, dass der linear abhängig ist, oder?
Genau das ist die richtige Idee!
> Aber wie ist das dann bei den anderen?
Du machst folgenden Ansatz: (Ich rechne dir jetzt einfach mal die ersten beiden Aufgaben vor)
[mm] $a*\vektor{1\\2\\3}+b*\vektor{2\\4\\6}=\vektor{0\\0\\0}$.
[/mm]
In der ersten Zeile steht also die Gleichung $a+2b=0$. Also ist $a=-2b$.
In der zweiten Zeile steht die Gleichung $2a+4b=0$. Also ist wieder $a=-2b$.
In der dritten Zeile steht die Gleichung $3a+6b=0$. Also ist schon wieder $a=-2b$!
Also existiert eine Lösung für dein Gleichungssystem, bei der weder $a=0$ noch $b=0$: Du kannst zum Beispiel $a=2$, $b=-1$ setzen.
Also sind die Vektoren linear abhängig.
Bei der zweiten Aufgabe:
[mm] $a\vektor{2\\-1\\4}+b\vektor{3\\5\\7}=\vektor{0\\0\\0}$.
[/mm]
In der ersten Zeile steht die Gleichung $2a+3b=0$. Also ist [mm] $a=\bruch{3}{2}b$.
[/mm]
In der zweiten Zeile steht die Gleichung $-a+5b=0$. Also ist $a=5b$. Zusammen mit dem, was wir aus der ersten Gleichung erhalten haben, bekommen wir [mm] $5b=\bruch{3}{2}b$. [/mm] Daraus errechnet man schnell, dass $b=0$ und damit auch $a=0$.
Also sind die Vektoren linear unabhängig.
Ist die Aufgabe dir jetzt klarer geworden?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Dank erstmal.
Ich habe mir das ganze mal angeschaut, und ich denke ich habe es verstanden.
3c ist bei mir linear abhängig;
3d und e sind bei mir linear unabghängig
Stimmt das? Wenn ja habe ich es verstanden.
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Hallo!
Ich denke, dass die Vektoren aus 3e) linear abhängig sind. Überprüfe noch mal deine Rechnung!
Aber die anderen stimmen! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Also bei 3e habe ich:
2a-3b=0
2a=3b
a= [mm] \bruch{3}{2}b
[/mm]
0a+0b=0
0a=-0b
4a-6b=0
4a=6b
a= [mm] \bruch{3}{2}b
[/mm]
Inwiefern sind die Vektoren linear abhängig?
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Hallo!
Lass dich von der Zeile $0*a=0*b$ nicht verwirren! Das ist ja einfach für jedes $a$ und $b$ erfüllt.
Aber die anderen beiden ergeben die Gleichung [mm] $a=\bruch{3}{2}b$. [/mm] Wenn du jetzt $a=3$ und $b=2$ setzt, kommst du auf eine Lösung für dein Gleichungssystem, bei der weder [mm] $(a,b)\ne [/mm] (0,0)$. Also sind die Vektoren linear abhängig.
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ok, dann danke ich dir.
Werde mir das wohl noch mal genauer anschauen müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Da niente!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Sorry, die Frage war lediglich falsch positioniert.
Ist jetzt ganz unten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Bei der 4 hat man jetzt 3 Vektoren.
Habe die 4a jetzt mal versucht (siehe Anhang), ist das so richtig?
Wenn ja, ist das ganze dann linear unabhängig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT !
Dein aufgestelltes Gleichungssystem ist richtig. Aber Du hörst ja mittendrin auf mit dem Rechnen.
Du hast doch ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen. Du mußt nun versuchen, dieses Gleichungssystem zu lösen (z.B. mit dem  Gauß-Algorithmus).
Wenn Du nun ein anderes Ergebnis als die Triviallösung $a \ = \ b \ = \ c \ = \ 0$ erhältst, sind diese drei Vektoren linear abhängig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ist das jetzt so richtig?
Aber kommt so nicht bei jeder dieser Aufgaben überall 0 raus?
Und ist das ganze jetzt abhängig oder nicht?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT !
> Ist das jetzt so richtig?
> Aber kommt so nicht bei jeder dieser Aufgaben überall 0
> raus?
Bei diesen Aufgaben wird immer eine Lösung (also eine unter mehreren) $a \ = \ b \ = \ c \ = \ 0$ (= "Triviallösung") sein.
Wenn aber $a \ = \ b \ = \ c \ = \ 0$ die einzige Lösung (wie bei diesem Beispiel) ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig!
Ist der Unterschied nun klar(er) ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Dann danke ich auch dir.
Ich hoffe das ich das bei den anderen Aufgaben hinbekomme, sonst melde ich mich wieder. Dann seh ich ja ob's klar ist. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ich bin's noch mal.
Woran erkenne ich denn, ob a=b=c=0 die einzige Lösung ist? Das ist mir leider noch nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wenn du den Gauß-Algorithmus nicht anwenden willst, dann betrachte doch mal deine drei Gleichungen. Aus der ersten folgt:
(1) $a=-c$.
Setzen wir $a=-c$ in die zweite Gleichung ein, so erhalten wir:
$-2c+b=c$,
also:
(2) $b=c$.
Nun setzen wir $a=-c$ und $b=c$ in die dritte Gleichung ein und bekommen:
$-5c+c=-3c$,
also:
(3) $c=0$.
Aus (1), (2) und (3) folgt notwendigerweise
$a=b=c=0$.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Fr 27.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Also 4a war ja linear unabhängig.
Habe jetzt 4b-d gelöst (siehe Anhang) und wenn ich das richtig sehe, dann ist b und d ebenfalls linear unabhängig und c ist linear abhängig.
Ist das korrekt?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Du musst Dir einfach überlegen, ob es
für
a* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + b* [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 5} [/mm] + c* [mm] \vektor{-1 \\ -4 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
eine Lösung ausser der Einfachen Lösung
a=b=c=0 gibt.
Wenn Du eine findest, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ansonsten sind sie linear unabhängig.
Du musst also nur eine Lösung für das lineare Gleichungssystem:
1a + 3b -1c = 0
1a + 0b -4c = 0
1a + 5b +1c = 0
finden, so wie Du das sicher schon oft gemacht hast. Eigentlich brauchst Du das Lineare Gleichungssystem nicth mal lösen, Du musst es nur so weit vereinfachen, bis Du feststellen kannst, ob a=b=c=0 die einzige Lösung ist, oder nicht.
Hoffe das hat weiter geholfen.
c) ist übrigens linear abhängig.
Gruß
Jürgen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 28.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo nochmal,
ich habe nun noch eine weitere Frage:
In Aufgabe 8 (Anhang) soll ich zeigen, dass 2 der 3 Vektoren lienar unabhängig sind. Ich hab das ganze jetzt berechnet (Anhang), allerdings ist bei mir alles linear unabhängig.
Was mache ich falsch?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Hallo nochmal,
> ich habe nun noch eine weitere Frage:
>
> In Aufgabe 8 (Anhang) soll ich zeigen, dass 2 der 3
> Vektoren lienar unabhängig sind. Ich hab das ganze jetzt
> berechnet (Anhang), allerdings ist bei mir alles linear
> unabhängig.
>
> Was mache ich falsch?
Gar nichts!
Im Aufgabentest steht: Du sollst zeigen, dass je 2 der 3 Vektoren linear unabhängig sind.
Das hast du ja auch gezeigt.
Erst wenn du alle drei Vektoren nimmst, sind sie linear ahängig.
Da bei den drei Vektoren je zwei linear unabhängig sind, kannst du jeden Vektor durch die beiden anderen ausdrücken. Um z.B. den ersten durch die beiden anderen auszudrücken, nimmst du folgenden Ansatz:
[mm] a \vektor{-1 \\ 1} + b \vektor{2 \\ 0} = \vektor{3 \\ 1} [/mm]
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Sa 28.05.2005 | | Autor: | SuperTTT |
Ok, danke, dann hab ich das falsch verstanden.
Den Rest der Aufgabe (jeden Vektor als Linearkombination der beiden anderen darstellen) ist einfach, haben wir schon oft gemacht.
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