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| Aufgabe | | Frau Sterk gießt Tee aus der Thermoskanne in eine Tasse. Da wird sie zum Vertretungsunterricht der 5d gerufen. Herr Konietzko, ein engagierter Mathelehrer, misst die Temperatur in der Tasse im Abstand von 10 Minuten. Die Temperaturdifferenz Y zur Raumtemperatur(20°C) nimmt in jeder Minute um einen festen Faktor c ab. Welche exponentielle Beziehung [mm] Y=dc^x [/mm] liefert die Regressionsrechnung? Wenn man definiert Z=lg(Y), ist die exponetielle Abhängigkeit gleichwertig zur linearen Abhängigkeit Z= lg(c)X+lg(d) zwischen dem Logarithmus der Temperaturdifferenz Z un der verstrichenen Zeit X. |
Hallo meine Lieben Mathematiker ! :)
Ohje, ich habe ziemlich lange in der Schule gefehlt, komme nun wieder und bekomme solch eine Aufgabe präsentiert!
Deswegen wird mein Lösungsansatz wohl ziemlich mager:
Wenn jede Minute die Temperatur um c sinkt, kann ich also bei jeder neuen Messung mit -10c rechnen.
Ich muss die Gleichung [mm] Y=dc^x [/mm] wohl nach X ausrechnen...
Nur wie ?
Bitte, helft mir. !
Lg, nachprueflerin
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Hallo nachprueflerin,
> Frau Sterk gießt Tee aus der Thermoskanne in eine Tasse. Da
> wird sie zum Vertretungsunterricht der 5d gerufen. Herr
> Konietzko, ein engagierter Mathelehrer, misst die
> Temperatur in der Tasse im Abstand von 10 Minuten. Die
> Temperaturdifferenz Y zur Raumtemperatur(20°C) nimmt in
> jeder Minute um einen festen Faktor c ab. Welche
> exponentielle Beziehung [mm]Y=dc^x[/mm] liefert die
> Regressionsrechnung? Wenn man definiert Z=lg(Y), ist die
> exponetielle Abhängigkeit gleichwertig zur linearen
> Abhängigkeit Z= lg(c)X+lg(d) zwischen dem Logarithmus der
> Temperaturdifferenz Z un der verstrichenen Zeit X.
> Hallo meine Lieben Mathematiker ! :)
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> Ohje, ich habe ziemlich lange in der Schule gefehlt, komme
> nun wieder und bekomme solch eine Aufgabe präsentiert!
>
> Deswegen wird mein Lösungsansatz wohl ziemlich mager:
>
> Wenn jede Minute die Temperatur um c sinkt, kann ich also
> bei jeder neuen Messung mit -10c rechnen.
>
> Ich muss die Gleichung [mm]Y=dc^x[/mm] wohl nach X ausrechnen...
> Nur wie ?
Du hast Wertepaare (X,Y) die der Funktionsvorschrift [mm]Y=dc^{X}[/mm] genügen.
Um daraus eine Gerade zu erhalten logarithmieren wir beide Seiten:
[mm]\operatorname{log}\left(Y\right)=x*\operatorname{log}\left(c\right)+\operatorname{log}\left(d\right)[/mm]
Für die Regressionsgerade definieren wir dann:
[mm]\tilde{c}:=\operatorname{log}\left(c\right)[/mm]
[mm]\tilde{d}:=\operatorname{log}\left(d\right)[/mm]
[mm]Z:=\tilde{Y}:=\operatorname{log}\left(Y\right)[/mm]
Damit lautet die Regressionsgerade:
[mm]\tilde{Y}=\tilde{c}X+\tilde{d}[/mm]
Um die Regressionsgerade zu bestimmen,
kannst Du jetzt die ![[]](/images/popup.gif) Methode der kleinsten Quadrate anwenden:
[mm]\summe_{i=1}^{n}\left( \ \tilde{Y}_{i}-\left( \ \tilde{c}X_{i}+\tilde{d} \ \right) \ \right)^{2} \to \operatorname{min}[/mm]
Durch partielles Ableiten nach [mm]\tilde{c}[/mm] bzw. [mm]\tilde{d}[/mm]
erhält Du ein Gleichungssystem zur Bestimmung von [mm]\tilde{c}[/mm] und [mm]\tilde{d}[/mm].
>
> Bitte, helft mir. !
> Lg, nachprueflerin
Gruß
MathePower
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