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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Sa 24.05.2008 | | Autor: | k4m1 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich bin mir bei der Aufgabe unsicher, deswegen werde ich hier mein Vorgehen schildern, und würde mich über Berichtigungen, und Hilfen freuen.
[mm] Produkt_1:=P_1; Produkt_2:=P_2
[/mm]
Zielfunktion:
[mm] 5*P_1+5*P_2=^!max
[/mm]
Beide Produkte bringen einen Gewinn von 5, der Verkauf beider Produkte soll maximalen Gewinn ermöglichen.
Nebenbedingungen:
Hier Forme ich die vorhandene Matrix und den Vorhandenen Vektor in ein LGS um.
[mm] \pmat{ 6 & 2 |>=60 \\ 2 & 1|30 \\ 1 & 3|60 }
[/mm]
Ich weiß nicht ob das soweit korrekt ist, und bin auch mit der zeichnerischen Lösung von linearen Optimierungsaufgaben nicht vertraut. Hilfe wäre hier sehr nett.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: tiff) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo k4m1,
> [mm]Produkt_1:=P_1; Produkt_2:=P_2[/mm]
>
> Zielfunktion:
> [mm]5*P_1+5*P_2=^!max[/mm]
> Beide Produkte bringen einen Gewinn von 5, der Verkauf
> beider Produkte soll maximalen Gewinn ermöglichen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Zielfunktion sieht gut aus.
> Nebenbedingungen:
> Hier Forme ich die vorhandene Matrix und den Vorhandenen
> Vektor in ein LGS um.
>
> [mm]\pmat{ 6 & 2 |>=60 \\ 2 & 1|30 \\ 1 & 3|60 }[/mm]
Bedenke, dass [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] nur begrenzt vorhanden sind. Demnach fehlen da noch entsprechende Relationszeichen in deiner Matrix.
Denk auch daran, dass bei Produkten die Nichtnegativitätsbedingung recht sinnvoll ist, dass also gelten muss [mm] P_{1}\ge0 [/mm] und [mm] P_{2}\ge0. [/mm] Negative Produktzahlen kann man (noch) nicht herstellen. 
> Ich weiß nicht ob das soweit korrekt ist, und bin auch mit
> der zeichnerischen Lösung von linearen Optimierungsaufgaben
> nicht vertraut. Hilfe wäre hier sehr nett.
In deinem Zwei-Produkt-Fall ist die zeichnerische Lösung relativ einfach:
Zeichne dir ein Achsenkreuz. Auf der x-Achse trägst du [mm] P_{1} [/mm] und auf der y-Achse [mm] P_{2} [/mm] ab.
Mathematisch gesehen ist der rechte, ober Quadrant entscheidend, denn dort findest du alle Kombinationen aus [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2}, [/mm] bei denen die Nichtnegativitätsbedingung gilt.
Zeichen dir dann die drei Bedingungen für die Verbrauchsmengen in das Achsenkreuz (ich erklärs mal anhand der ersten Bedinung [mm] 6*P_{1}+2*P_{2}\ge60):
[/mm]
Wenn du kein [mm] P_{1} [/mm] und nur [mm] P_{2} [/mm] produzierst kannst du 30 [mm] P_{2} [/mm] herstellen. auf der y-Achse also einen Punkt bei 30 markieren. Wenn du kein [mm] P_{2} [/mm] und nur [mm] P_{1} [/mm] herstellst, könntest du 10 [mm] P_{1} [/mm] produzieren. Auf der x-Achse also bei 10 ein Kreuz. Die beiden Punkte, die du eben gezeichnet hast mit nem Lineal verbinden. Das ist deine erste Restriktion. Da ja galt [mm] \ge [/mm] kannst du nun den Berecih RECHTS dieser Gerade schraffieren, denn dieser Berecih kommt für die Lösung aufgrund der gerade betrachteten Restriktion nur in Frage.
Ebenso gehst du mit den anderen beiden Restriktionen von (beachte meinen Hinweis zu dein fehleneden Relationszeichen ... die musst du noch einfügen, sonst ermittelst du den falschen Bereich).
Hast du alle Nebenbedingungen (Restriktionen) eingezeichnet, dann kannst du die Zielfunktion (ZF) einzeichnen. Am einfachsten geht dies, indem man annimmt die ZF hätte einen Wert von 0 (denn dann verläuft sie Genau durch den Koordinatenursprung). Also die ZF=0 gesetzt und dann so umgeformt, dass man sie ganz normal wie eine linieare Funktion in das Achsenkreuz einzeichnen kann.
Die eben gezeichnete ZF verschiebst du nun parallel (ja ... genau wie in der Grundschule gelernt!) so lange über deinen soeben durch die Nebenbedingungen "abgesteckten" Bereich, bis dieser Bereich nur noch tangiert wird (im Regelfall sollte dies ein Punkt sein). Dieser Punkt stellt die unter den gegebenen Restriktionen optimalste Lösung dar. Es kann auch vorkommen, dass du eine ganze Gerade mit deiner ZF "tangierst", dann hast du nicht nur eine optimale Lösung, sonder eine Lösungsmenge.
Hoffe ich konnte mich einger Maßen verständlich ausdrücken. Wenn nicht: einfach nachfragen.
Gruß,
Tommy
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