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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 14.06.2007 | | Autor: | Mischung |
| Aufgabe | Welcher der folgenden Operatoren Dy sind linear:
a) (Dy)(x)=xy'(x)
b) (Dy)(x)=y²(x)
c) [mm] (Dy)(x)=\integral_{a}^{b}{y(x) dx}
[/mm]
d) [mm] (Dy)(x)=\integral_{a}^{b}{x²y(x) dx} [/mm] |
Hallo!
Ich weiß leider nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen sollen. Kann vielleicht jemand eine Aufgabe als Beispiel rechnen, damit ich mal sehe, wie man solche Aufgabe lösen kann.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Do 14.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Peter,
nun Du musst halt die Definition der Linearität abprüfen:
Eine Abbildung f(x) heißt linear dann und nur dann wenn...
(1): [mm] f(x_1+x_2) [/mm] = [mm] f(x_1) [/mm] + [mm] f(x_2) [/mm] für alle [mm] x_1, x_2
[/mm]
(2): [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) für alle [mm] \lambda, [/mm] x
Schauen wir uns die erste Aufgabe an:
f(x) := Dy = xy'
Prüfen Voraussetzung 1:
[mm] f(x_1) [/mm] + [mm] f(x_2) [/mm] = [mm] x_1*y'(x_1) [/mm] + [mm] x_2*y'(x_2)
[/mm]
[mm] f(x_1+x_2) [/mm] = [mm] (x_1+x_2) [/mm] * [mm] y'(x_1+x_2)
[/mm]
Damit Bedingung 1 erfüllt ist muss also gelten
[mm] x_1*y'(x_1) [/mm] + [mm] x_2*y'(x_2) [/mm] = [mm] (x_1+x_2) [/mm] * [mm] y'(x_1+x_2)
[/mm]
Für allgemeines y: [mm] \IR\to\IR
[/mm]
halte ich das für recht unwahrscheinlich. Falls geeignete Randbedingungen da sind (y(x) selbst linear zum Beispiel,
dann wäre y' = const). Vielleicht.
Hier kommt aber der Killer:
Prüfen Voraussetzung 2:
[mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] (\lambda x)*y'(\lambda [/mm] x)
und das soll das gleiche sein wie...
[mm] \lambda*f(x) [/mm] = [mm] \lambda*(x*y'(x))
[/mm]
Nun... vielleicht rechtfertigen evtl. Vorbedingungen an y,
dass [mm] y'(\lambda [/mm] x)=y'(x). Falls nicht ist der erste Operator
jedenfalls NICHT linear.
Ich hoffe das hilft Dir!
Liebe Grüße, Markus-Hermann.
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