Lineare Interpolationsfunktion < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:20 So 14.03.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hallo Leute.ich brauch ein bissl Hilfe bei folgender Aufgabe:
a)
Sei [mm] (x_i,y_j)=(i-1/2, [/mm] j-1/2) i,j=1,2
ein cellcentred Gitter.Ferner sei [mm] B=(b_i,j) [/mm] mit [mm] B=\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & 4 }
[/mm]
ein Bild und [mm] I:\IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] die durch
[mm] I(x_i,y_j)=b_i,j [/mm] i,j=1,2
definierte lineare Interpolationsfunktion.
Berechnen sie I(3/2.1) und I(1.5/4)
b) Sei
[mm] S(x)=\summe_{j=1}^{m}\alpha_j b_j [/mm] (x), [mm] b_j(x)=b_0 [/mm] (x-j);
ein kubischer Spline.Berechen Sie für m=3 und y=(6,12,14) die Koeffizieneten [mm] \alpha_j [/mm] derart dass
[mm] S(k)=y_k [/mm] ,k=1,2,3 gilt. |
Mein Lösungsvorschlag:
a)
[mm] (x_i,y_j) [/mm] =(i-1/2, j-1/2) i,j=1,2
[mm] (x_1,y_1)=(1/2, [/mm] 1/2) für i,j=1,1 usw...
[mm] (x_1,y_2)=(1/2, [/mm] 3/2)
[mm] (x_2,y_1)=(3/2, [/mm] 1/2)
[mm] (x_2,y_2)=(3/2, [/mm] 3/2)
[mm] I(x_i,y_j)=b_i,j [/mm] i,j=1,2
[mm] I(x_1y_1)=b_1,1=1
[/mm]
[mm] I(x_1,y_2)=b_1,2=2
[/mm]
[mm] I(x_2,y_1)=b_2,1=-1
[/mm]
[mm] I(x_2,y_2)=b_2,2 [/mm] =4
I(3/2.1)=? I(1.5/4) =? leider steh ich dann auf den schlauch :(
b)
j geht von eins bis 3
[mm] b_j(x)=b_0 [/mm] (x-j)
[mm] b_1(x)=b_0(x-1)
[/mm]
[mm] b_2(x)=b_0(x-2)
[/mm]
[mm] b_3(x)=b_0(x-3)
[/mm]
[mm] S(1)=y_1=6
[/mm]
[mm] S(2)=y_2=12
[/mm]
[mm] S(3)=y_3=14
[/mm]
[mm] S(1)=y_1=6=\alpha_1 b_1(x), b_1(x)=b_0 [/mm] (x-1);
[mm] S(2)=y_2=12=\alpha_2 b_2(x), b_2(x)=b_0 [/mm] (x-2);
[mm] S(3)=y_3=14=\alpha_3 b_3(x), b_3(x)=b_0 [/mm] (x-3);
ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter :(
ich bedanke mich für hilfe
mfg
matheja
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mo 15.03.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Kann mir echt keiner helfen :(
ich hab auch im netzt zu diesem Thema geschaut leider bin ich auf nix brauchbares getroffen.
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wär echt toll wenn mir jemand raushelfen könnte
mfg
matheja
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 16.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mi 17.03.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | So ich starte nun einen letzten Versuch.So leicht gebe ich nicht :)
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a) Gesucht ist eine (bi)lineare Interpolationsfunktion:
b_11=1=(1-0.5,1-0.5)=0.5,0.5
b_12=2=0.5,1.5
b_21=-1=1.5,0.5
b_22=4=1.5,1.5
Wie berechne ich nun I(3/2.1) und I(1.5/4)? ich kann es leider nicht sehen
b) a sei alpha:
[mm] S(1)=6=a_1*b_0(x-1)+a_2*b_0(x-2)+a_3*b_0(x-3)
[/mm]
[mm] S(2)=12=a_1*b_0(x-1)+a_2*b_0(x-2)+a_3*b_0(x-3)
[/mm]
[mm] S(3)=14=a_1*b_0(x-1)+a_2*b_0(x-2)+a_3*b_0(x-3)
[/mm]
Bei beiden Aufgaben fehlt mir ein richtiger Ansatz
Kann sein dass die Aufgaben nicht so schwer zu rechnen sind wenn man einen Ansatz hat.
Wär schön wenn mir jemand raushelfen könnte.
mfg
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Hallo matheja,
ich habe versucht, mich in die Aufgabenstellung hinein
zu denken. Ist meine nachfolgende Interpretation richtig:
Du hast 4 in der x-y-Ebene gelegene Punkte A,B,C,D,
welche die Eckpunkte eines Quadrates der Seitenlänge
1 bilden. A(0.5/0,5) ist die linke untere Ecke des Quadrats.
Nun liegen die Funktionswerte einer im übrigen unbe-
kannten Funktion [mm] $\blue{b:\IR^2\to\IR}$ [/mm] in den Punkten A,B,C,D
vor.
In Aufgabe (a) ist nun eine lineare Approximations-
funktion I , also
[mm] $\blue{I(x,y)\ =\ P*x+Q*y+R}$
[/mm]
gesucht, welche die Funktion b an den 4 Stützstellen mög-
lichst gut approximiert, im Sinne der gaußschen kleinste-
Quadrate-Methode.
Sollte die Aufgabe tatsächlich so zu verstehen sein, kann
dir leicht geholfen werden. Es handelt sich dann allerdings
nicht um eine eigentliche Interpolation, sondern um
eine Approximation.
Setze doch für deine allfällige erneute Frage eine längere
"Ablaufszeit".
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Do 18.03.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi Al-Chw.
Danke für deine Hilfe.Ich kämpfe schon seit tagen mit dieser Aufgabe und hab ähnliches Problem.Deswegen bin ich dir echt dankbar, dass du mir Helfen willst :) |
> Hallo matheja,
>
> ich habe versucht, mich in die Aufgabenstellung hinein
> zu denken. Ist meine nachfolgende Interpretation richtig:
>
> Du hast 4 in der x-y-Ebene gelegene Punkte A,B,C,D,
> welche die Eckpunkte eines Quadrates der Seitenlänge
> 1 bilden. A(0.5/0,5) ist die linke untere Ecke des
> Quadrats.
> Nun liegen die Funktionswerte einer im übrigen unbe-
> kannten Funktion [mm]\blue{b:\IR^2\to\IR}[/mm] in den Punkten
> A,B,C,D
> vor.
> In Aufgabe (a) ist nun eine lineare Approximations-
> funktion I , also
>
> [mm]\blue{I(x,y)\ =\ P*x+Q*y+R}[/mm]
>
> gesucht, welche die Funktion b an den 4 Stützstellen
> mög-
> lichst gut approximiert, im Sinne der gaußschen
> kleinste-
> Quadrate-Methode.
>
> Sollte die Aufgabe tatsächlich so zu verstehen sein, kann
> dir leicht geholfen werden. Es handelt sich dann
> allerdings
> nicht um eine eigentliche Interpolation, sondern um
> eine Approximation.
Ich hab versuch mich nochmal diesbezgl. schlau zu machen und bin dann auf folgende Erklärung gestoßen:
Interpolationsproblem : Gegeben seien n + 1 paarweise verschiedene
Punkte
[mm] x_0, x_1, [/mm] . . . , xn ∈ R,
welche man als Stützstellen bezeichnet, sowie ein System von
n + 1 weiteren (nicht notwendig verschiedenen) Punkten
[mm] y_0, y_1, [/mm] . . . , [mm] y_n [/mm] ∈ R,
die man als Stützwerte bezeichnet. Gesucht ist p ∈ P mit
[mm] p(x_k [/mm] ) = [mm] y_k [/mm] , k = 0, . . . , n.
Approximationsproblem : Man will eine in gewissem Sinne ”beste”
Darstellung p∗ ∈ P von der Funktion f bestimmen, z.B.:
max x∈[a,b] |f (x) − p∗(x)| = min p∈P max x∈[a,b] |f (x) − p(x)|
Interpolation ist eine spezielle Art der Approximation mit
max k=0,...,n |f (xk ) − p∗(xk )| = min
p∈P max k=0,...,n |f (xk ) − p(xk )| = 0.
LinK: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsviii/veranstaltungen/numerikI0910/Skript/kapitel_04.pdf
So wie es verstanden habe bekommt man dann LGS der Form:
Gesucht ist die lineare Interpolationsfunktion: [mm] I(x,y)=b_1+b_2*x+b_3y+b_4*xy
[/mm]
a)
[mm] (i):I(3,2.1)=b_1+b_2*3+b_3*2.1+b_4*3*2.1
[/mm]
[mm] (ii):I(1.5,4)=b_1+b_2*1.5+b_3*4+b_4*1.5*4
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher was [mm] b_1 [/mm] .. [mm] b_4
[/mm]
ich nehme an:
[mm] b_1=1 [/mm] =b_11 usw??
[mm] b_2=2
[/mm]
[mm] b_3=-1
[/mm]
[mm] b_4=4
[/mm]
=> I(3,2.1)=301/10 und I(1.5,4)=24
ich würd das so machen:
[mm] \pmat{ 1 & x_1 & y_1 & x_1*y_1 \\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_2 & y_2 & x_2*y_2}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{b_(11) \\b_(12)\\b_(21)\\b_(22)} [/mm]
<=>
[mm] \pmat{ 1 & 0.5 & 0.5 & 0.25 \\1 & 0.5 & 1 & 1.5\\1 & 0.5 & 1.5 & 0.75\\1 & 1.5 & 1.5 & 4.5}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{1 \\2\\-1\\4} [/mm]
aber ich glaub hier ist ein Fehler drin oder?
wie würdest du oder ihr das Lösen?
>
> Setze doch für deine allfällige erneute Frage eine
> längere
> "Ablaufszeit".
Jep mach ich
>
> LG Al-Chw.
>
>
Danke für hilfe
mfg
matheja
|
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|
> Hi Al-Chw.
> Danke für deine Hilfe.Ich kämpfe schon seit tagen mit
> dieser Aufgabe und hab ähnliches Problem.Deswegen bin ich
> dir echt dankbar, dass du mir Helfen willst :)
> > Hallo matheja,
> >
> > ich habe versucht, mich in die Aufgabenstellung hinein
> > zu denken. Ist meine nachfolgende Interpretation
> richtig:
> >
> > Du hast 4 in der x-y-Ebene gelegene Punkte A,B,C,D,
> > welche die Eckpunkte eines Quadrates der Seitenlänge
> > 1 bilden. A(0.5/0,5) ist die linke untere Ecke des
> > Quadrats.
> > Nun liegen die Funktionswerte einer im übrigen unbe-
> > kannten Funktion [mm]\blue{b:\IR^2\to\IR}[/mm] in den Punkten A,B,C,D vor.
> > In Aufgabe (a) ist nun eine lineare Approximationsfunktion I , also
> > [mm]\blue{I(x,y)\ =\ P*x+Q*y+R}[/mm]
> > gesucht, welche die Funktion b an den 4 Stützstellen mög-
> > lichst gut approximiert, im Sinne der gaußschen
> > kleinste-Quadrate-Methode.
> > Sollte die Aufgabe tatsächlich so zu verstehen sein, kann
> > dir leicht geholfen werden. Es handelt sich dann allerdings
> > nicht um eine eigentliche Interpolation, sondern um
> > eine Approximation.
>
> Ich hab versuch mich nochmal diesbezgl. schlau zu machen
> und bin dann auf folgende Erklärung gestoßen:
> Interpolationsproblem : Gegeben seien n + 1 paarweise
> verschiedene
> Punkte
> [mm]x_0, x_1,[/mm] . . . , xn ∈ R,
> welche man als Stützstellen bezeichnet, sowie ein System
> von
> n + 1 weiteren (nicht notwendig verschiedenen) Punkten
> [mm]y_0, y_1,[/mm] . . . , [mm]y_n[/mm] ∈ R,
> die man als Stützwerte bezeichnet. Gesucht ist p ∈ P
> mit
> [mm]p(x_k[/mm] ) = [mm]y_k[/mm] , k = 0, . . . , n.
>
> Approximationsproblem : Man will eine in gewissem Sinne
> ”beste”
> Darstellung p∗ ∈ P von der Funktion f bestimmen,
> z.B.:
> max x∈[a,b] |f (x) − p∗(x)| = min p∈P max
> x∈[a,b] |f (x) − p(x)|
>
> Interpolation ist eine spezielle Art der Approximation mit
> max k=0,...,n |f (xk ) − p∗(xk )| = min
> p∈P max k=0,...,n |f (xk ) − p(xk )| = 0.
> LinK:
> http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsviii/veranstaltungen/numerikI0910/Skript/kapitel_04.pdf
>
> So wie es verstanden habe bekommt man dann LGS der Form:
>
> Gesucht ist die lineare Interpolationsfunktion:
> [mm]I(x,y)=b_1+b_2*x+b_3y+b_4*xy[/mm]
>
> a)
> [mm](i):I(3,2.1)=b_1+b_2*3+b_3*2.1+b_4*3*2.1[/mm]
> [mm](ii):I(1.5,4)=b_1+b_2*1.5+b_3*4+b_4*1.5*4[/mm]
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher was [mm]b_1[/mm] .. [mm]b_4[/mm]
> ich nehme an:
> [mm]b_1=1[/mm] =b_11 usw??
> [mm]b_2=2[/mm]
> [mm]b_3=-1[/mm]
> [mm]b_4=4[/mm]
> => I(3,2.1)=301/10 und I(1.5,4)=24
>
> ich würd das so machen:
> [mm]\pmat{ 1 & x_1 & y_1 & x_1*y_1 \\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_2 & y_2 & x_2*y_2}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{b_(11) \\b_(12)\\b_(21)\\b_(22)}[/mm]
> <=>
> [mm]\pmat{ 1 & 0.5 & 0.5 & 0.25 \\1 & 0.5 & 1 & 1.5\\1 & 0.5 & 1.5 & 0.75\\1 & 1.5 & 1.5 & 4.5}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{1 \\2\\-1\\4}[/mm]
>
> aber ich glaub hier ist ein Fehler drin oder?
> wie würdest du oder ihr das Lösen?
Hi matheja,
nach meiner Ansicht ist das angegebene PDF-Dokument von
der Uni Dortmund für die vorliegende Aufgabe nicht besonders
hilfreich, da dort ja nur Interpolation und Approximation von
Funktionen [mm] f:\IR\to\IR [/mm] betrachtet wird, wogegen wir hier aber
von einer Funktion [mm] b:\IR^2\to\IR [/mm] (mit 2 Variablen x und y)
ausgehen.
Da es keine Ebene gibt, welche durch alle 4 gegebenen Stütz-
punkte verläuft, ist eine lineare Interpolation nicht möglich -
außer man würde das Grundquadrat in 2 Teildreiecke zerlegen
und dann innerhalb jedes solchen Teildreiecks linear interpolieren.
Du schreibst:
> Gesucht ist die lineare Interpolationsfunktion:
> [mm]I(x,y)=b_1+b_2*x+b_3y+b_4*xy[/mm]
Nur ist dies eben gar keine lineare Funktion, sondern wegen
des gemischten Gliedes $x*y$ eine Funktion 2. Grades !
Nun hast du also die Wahl:
1.) linear, aber eben "nur" Approximation
2.) Interpolationsfunktion mit dem (speziellen) Ansatz [mm]I(x,y)=b_1+b_2*x+b_3y+b_4*xy[/mm]
Vielleicht ist es sogar interessant, beide Ansätze zu verfolgen
und die Ergebnisse zu vergleichen.
(deine Rechnung habe ich noch nicht durchgesehen)
LG Al-Chw.
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Hallo matheja,
ich habe jetzt meine beiden Vorschläge durchgerechnet und
in beiden Fällen recht "schöne" Ergebnisse bekommen,
nämlich:
lineare Approximation: $\ I(x,y)\ \ [mm] =3\,y-1.5$
[/mm]
Ansatz 2. Ordnung: $\ f(x,y)\ =\ [mm] 2.5-4\,x-y+4\,x\,y$
[/mm]
Dieser Ansatz ist insofern "halbwegs linear", indem jeder
zur x-z-Ebene oder zur y-z-Ebene parallele ebene Schnitt
aus dem Graph der Funktion eine Gerade herausschneidet.
Der Graph ist eine sogenannte Regelfläche, nämlich ein
![[]](/images/popup.gif) hyperbolisches Paraboloid
> So wie es verstanden habe bekommt man dann LGS der Form:
>
> Gesucht ist die lineare Interpolationsfunktion:
> [mm]I(x,y)=b_1+b_2*x+b_3y+b_4*xy[/mm]
>
> a)
> [mm](i):I(3,2.1)=b_1+b_2*3+b_3*2.1+b_4*3*2.1[/mm]
> [mm](ii):I(1.5,4)=b_1+b_2*1.5+b_3*4+b_4*1.5*4[/mm]
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher was [mm]b_1[/mm] .. [mm]b_4[/mm]
> ich nehme an:
> [mm]b_1=1[/mm] =b_11 usw?? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> => I(3,2.1)=301/10 und I(1.5,4)=24
Nein, die [mm] b_i [/mm] sind gesuchte Koeffizienten.
> ich würd das so machen:
> [mm]\pmat{ 1 & x_1 & y_1 & x_1*y_1 \\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_2 & y_2 & x_2*y_2}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{b_(11) \\b_(12)\\b_(21)\\b_(22)}[/mm]
> <=>
> [mm]\pmat{ 1 & 0.5 & 0.5 & 0.25 \\1 & 0.5 & 1 & 1.5\\1 & 0.5 & 1.5 & 0.75\\1 & 1.5 & 1.5 & 4.5}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{1 \\2\\-1\\4}[/mm]
>
> aber ich glaub hier ist ein Fehler drin oder?
Ja. Du hast mit den [mm] x_1, x_2, y_1, y_2 [/mm] ein kleines Durcheinander gemacht ... 
Richtig durchgerechnet solltest du auf meine obigen Werte
kommen, also [mm] a_0=2.5 [/mm] , [mm] a_1=-4 [/mm] , [mm] a_2=-1 [/mm] , [mm] a_3=4
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Fr 19.03.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Danke Al-Chawarizmi.
So langsam wird mir einiges klarer :)
Ich versuch jetzt in dem ganzen Durcheinander das wichtigste zusammenzufassen um auf eine klare Lösung zu kommen |
> Hallo matheja,
>
> ich habe jetzt meine beiden Vorschläge durchgerechnet und
> in beiden Fällen recht "schöne" Ergebnisse bekommen, nämlich:
>
> lineare Approximation: [mm]\ I(x,y)\ \ =3\,y-1.5[/mm]
>
> Ansatz 2. Ordnung: [mm]\ f(x,y)\ =\ 2.5-4\,x-y+4\,x\,y[/mm]
>
> Dieser Ansatz ist insofern "halbwegs linear", indem jeder
> zur x-z-Ebene oder zur y-z-Ebene parallele ebene Schnitt
> aus dem Graph der Funktion eine Gerade herausschneidet.
> Der Graph ist eine sogenannte Regelfläche, nämlich ein
Eingen wir uns auf den zweiten Ansatz, weil ich auch den aufgrund deiner obigen Erläuterunterung doch interessanter finde.
Ich hab grad Probleme herauszufinden, wie duch auf die obigen Koeffizienten kommst.
Ich schreib mal auf wie ich das machen würde:
Es gilt laut Aufgabenstellung:
[mm] (x_i,y_i)=(i-0.5,j-0.5) [/mm] i,j=1,2
[mm] B=b_ij=\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & 4 }
[/mm]
[mm] I(x_i,y-i)=b_(ij)
[/mm]
=>
b_11=1
b_12=2
b_21=-1
b_22=4
[mm] x_1,y_1=0.5/0.5
[/mm]
[mm] x_1,y_2=0.5/1.5
[/mm]
[mm] x_2,y_1=1.5/0.5
[/mm]
[mm] x_2,y_2=1.5/1.5
[/mm]
b_11 [mm] =a_1+a_2x_1+a_3y_1+a_4x_1y_1 [/mm]
b_12 [mm] =a_1+a_2x_1+a_3y_2+a_4x_1y_2
[/mm]
b_21 [mm] =a_1+a_2x_2+a_3y_1+a_4x_2y_1
[/mm]
b_22 [mm] =a_1+a_2x_2+a_3y_2+a_4x_2y_2
[/mm]
<=>
[mm] \pmat{ 1 & x_1 & y_1 & x_1*y_1 \\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_2 & y_2 & x_2*y_2}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{b_(11) \\b_(12)\\b_(21)\\b_(22)}
[/mm]
[mm] =>\pmat{ 1 & 0.5 & 0.5 & 0.25 \\1 & 0.5 & 1.5 & 0.75 \\1 & 1.5 & 0.5 & 0.75 \\1 & 1.5 & 1.5 & 2.25}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}\vektor{1\\2\\-1\\4}
[/mm]
Ich komm dann auf ein anderes Ergebnis
[mm] a_0=4
[/mm]
[mm] a_1=-1
[/mm]
[mm] a_2=2
[/mm]
[mm] a_3=1
[/mm]
Ich hab meinen Kompletten Weg aufgeschrieben.
Ich bin ziemlich sicher dass da irgendwo ein rechenfehler oder denkfehler drin ist.
Nur leider weiß ich nicht wo.
Um die Aufgabe endlich abschließen zu können würde es mir helfen...
...wenn wir systematisch die a) und die b) abarbeiten
... schritt für schritt
Wenn wir das schaffen würden bin ich wunschlos glücklich :)
> Nein, die [mm]b_i[/mm] sind gesuchte Koeffizienten.
Ich hab sie jetzt deiner Lösung angepasst und die Koeffizienten [mm] a_i [/mm] genannt.
> kommen, also [mm]a_0=2.5[/mm] , [mm]a_1=-4[/mm] , [mm]a_2=-1[/mm] , [mm]a_3=4[/mm]
>
>
> LG Al-Chwarizmi
>
beste grüße und ein dickes Dank an Al-Chawarizimi
matheja
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> Danke Al-Chawarizmi.
> So langsam wird mir einiges klarer :)
> Ich versuch jetzt in dem ganzen Durcheinander das
> wichtigste zusammenzufassen um auf eine klare Lösung zu
> kommen
> > Hallo matheja,
> >
> > ich habe jetzt meine beiden Vorschläge durchgerechnet und
> > in beiden Fällen recht "schöne" Ergebnisse bekommen,
> nämlich:
> >
> > lineare Approximation: [mm]\ I(x,y)\ \ =3\,y-1.5[/mm]
> >
> > Ansatz 2. Ordnung: [mm]\ f(x,y)\ =\ 2.5-4\,x-y+4\,x\,y[/mm]
>
> >
> > Dieser Ansatz ist insofern "halbwegs linear", indem jeder
> > zur x-z-Ebene oder zur y-z-Ebene parallele ebene Schnitt
> > aus dem Graph der Funktion eine Gerade herausschneidet.
> > Der Graph ist eine sogenannte Regelfläche, nämlich ein
> > "hyperbolisches Paraboloid".
>
> Einigen wir uns auf den zweiten Ansatz, weil ich auch den
> aufgrund deiner obigen Erläuterunterung doch interessanter
> finde.
> Ich hab grad Probleme herauszufinden, wie du auf die
> obigen Koeffizienten kommst.
> Ich schreib mal auf wie ich das machen würde:
>
> Es gilt laut Aufgabenstellung:
>
> [mm](x_i,y_i)=(i-0.5,j-0.5)[/mm] i,j=1,2
> [mm]B=b_ij=\pmat{ 1 & 2 \\ -1 & 4 }[/mm]
> [mm]I(x_i,y-i)=b_(ij)[/mm]
Tipp: wenn du den Doppelindex "ij" oder überhaupt etwas,
das aus mehr als nur einem einzigen Zeichen besteht, tief-
oder hochstellen willst, musst du es in geschweifte Klammern
verpacken:
$\ [mm] b_{ij}$ [/mm] $\ [mm] Basis^{Exponent}$ [/mm] etc.
> =>
> b_11=1
> b_12=2
> b_21=-1
> b_22=4
>
> [mm]x_1,y_1=0.5/0.5[/mm]
> [mm]x_1,y_2=0.5/1.5[/mm]
> [mm]x_2,y_1=1.5/0.5[/mm]
> [mm]x_2,y_2=1.5/1.5[/mm]
>
>
> b_11 [mm]=a_1+a_2x_1+a_3y_1+a_4x_1y_1[/mm]
> b_12 [mm]=a_1+a_2x_1+a_3y_2+a_4x_1y_2[/mm]
> b_21 [mm]=a_1+a_2x_2+a_3y_1+a_4x_2y_1[/mm]
> b_22 [mm]=a_1+a_2x_2+a_3y_2+a_4x_2y_2[/mm]
> <=>
> [mm]\pmat{ 1 & x_1 & y_1 & x_1*y_1 \\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_1 & y_2 & x_1*y_2\\1 & x_2 & y_2 & x_2*y_2}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{b_(11) \\b_(12)\\b_(21)\\b_(22)}[/mm]
in dieser Matrix hast du die Fehler nicht korrigiert
>
> [mm]=>\pmat{ 1 & 0.5 & 0.5 & 0.25 \\1 & 0.5 & 1.5 & 0.75 \\1 & 1.5 & 0.5 & 0.75 \\1 & 1.5 & 1.5 & 2.25}*\vektor{a_0 \\a_1\\a_2\\a_3}\vektor{1\\2\\-1\\4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das entspricht auch meinem Gleichungssystem
>
> Ich komm dann auf ein anderes Ergebnis
> [mm]a_0=4[/mm]
> [mm]a_1=-1[/mm]
> [mm]a_2=2[/mm]
> [mm]a_3=1[/mm]
Ich habe dein Gleichungssystem in ein Applet eingegeben
Lösung: [mm] a_0=2.5 a_1=-4 a_2=-1 a_3=4
[/mm]
Das entspricht exakt meinem früheren Ergebnis.
> Ich hab meinen kompletten Weg aufgeschrieben.
> Ich bin ziemlich sicher dass da irgendwo ein rechenfehler
> oder denkfehler drin ist.
> Nur leider weiß ich nicht wo.
jetzt weißt du es
> Um die Aufgabe endlich abschließen zu können würde es
> mir helfen...
>
> ...wenn wir systematisch die a) und die b) abarbeiten
> ... schritt für schritt
ich denke, (a) wäre nun wohl erledigt, oder ?
dann bleibt noch die (b) mit dem Spline
(muss ich mir jetzt mal anschauen...)
> Wenn wir das schaffen würden bin ich wunschlos glücklich :)
das ist in jedem Fall eine gute Motivationsspritze !
LG Al-Chwarizmi
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> b) Sei
>
> [mm]S(x)=\summe_{j=1}^{m}\alpha_j b_j[/mm] (x), [mm]b_j(x)=b_0[/mm] (x-j);
> ein kubischer Spline.Berechen Sie für m=3 und y=(6,12,14)
> die Koeffizieneten [mm]\alpha_j[/mm] derart dass
> [mm]S(k)=y_k[/mm] für k=1,2,3 gilt.
> Mein Lösungsvorschlag:
> j geht von eins bis 3
> [mm]b_j(x)=b_0[/mm] (x-j)
> [mm]b_1(x)=b_0(x-1)[/mm]
> [mm]b_2(x)=b_0(x-2)[/mm]
> [mm]b_3(x)=b_0(x-3)[/mm]
>
> [mm]S(1)=y_1=6[/mm]
> [mm]S(2)=y_2=12[/mm]
> [mm]S(3)=y_3=14[/mm]
>
> [mm]S(1)=y_1=6=\alpha_1 b_1(x), b_1(x)=b_0[/mm] (x-1);
> [mm]S(2)=y_2=12=\alpha_2 b_2(x), b_2(x)=b_0[/mm] (x-2);
> [mm]S(3)=y_3=14=\alpha_3 b_3(x), b_3(x)=b_0[/mm] (x-3);
Guten Abend matheja,
mein Problem ist hier, dass ich in der angegebenen
Formel gar keinen kubischen Spline erkennen kann.
Wenn [mm] b_0 [/mm] eine Konstante ist, ist [mm] b_j(x)=b_0*(x-j) [/mm] eine
lineare Funktion, und die lineare Kombination S(x) aus
solchen linearen Funktionen ist immer noch linear
und also keinesfalls kubisch. Um die 3 gegebenen
Datenpunkte zu treffen, braucht man mindestens
eine quadratische Funktion ...
Schau also die dir vorliegende Aufgabenstellung noch-
mals genau durch und gib allenfalls auch einen
Hinweis auf ein Buch oder Skript, das du benützt.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Fr 19.03.2010 | | Autor: | matheja |
Hallo Al Chawarizmi,
derbes Danke.Mit deiner Hilfe wird das noch was :)
Zu den Fehlern:
Ich werde wenn wir noch die b) gelöst haben den kompleten Lösungsweg nochmal sauber posten.
Ich hab bei mir ins Script geguckt und dann folgendes gefunden:
[mm] b_0 [/mm] haben wir als Mutterspline bezeichnet, dieser ist folgendermaßen definiert:
[mm] b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}+2(x+1)^{3}+b(x+1) & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}+2(x-1)^{3}+b(x-1) & \mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \mbox{für } sonst \end{cases}
[/mm]
beste grüße
matheja
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> Ich hab bei mir ins Script geguckt und dann folgendes
> gefunden:
>
> [mm]b_0[/mm] haben wir als Mutterspline bezeichnet, dieser ist
> folgendermaßen definiert:
>
> [mm]b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}+2(x+1)^{3}+b(x+1) & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}+2(x-1)^{3}+b(x-1) & \mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \mbox{für } sonst \end{cases}[/mm]
>
> beste grüße
> matheja
Ach so, [mm] b_0 [/mm] ist also nicht einfach ein Faktor, sondern eine
vorgegebene Funktion.
Allerdings habe ich die Rolle dieses sogenannten "Mutter-
Splines" noch nicht begriffen. Ich habe mir diese Funktion
graphisch darstellen lassen und sehe eine ziemlich "zer-
rissene" Funktion ...
Deren Sinn für die Konstruktion eines konkreten Splines
(in einer relativ einfachen Situation) sehe ich wenigstens
im Moment nicht.
Und: was ist die Bedeutung des "b" in der Definition der
Funktion [mm] b_0(x) [/mm] ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Sa 20.03.2010 | | Autor: | matheja |
> Ach so, [mm]b_0[/mm] ist also nicht einfach ein Faktor, sondern
> eine
> vorgegebene Funktion.
>
> Allerdings habe ich die Rolle dieses sogenannten "Mutter-
> Splines" noch nicht begriffen. Ich habe mir diese
> Funktion
> graphisch darstellen lassen und sehe eine ziemlich "zer-
> rissene" Funktion ...
> Deren Sinn für die Konstruktion eines konkreten Splines
> (in einer relativ einfachen Situation) sehe ich
> wenigstens
> im Moment nicht.
> Und: was ist die Bedeutung des "b" in der Definition der
> Funktion [mm]b_0(x)[/mm] ?
>
>
> LG Al-Chw.
>
Guten Morgen Al Chawarizmi,
so ganz klar ist mir das auch nicht ich schreib mal das den für uns intressanten Teil des Skriptes hier rein:
1D Interpolation
Gegeben: ein Cellcentred Gitter x [mm] \in IR^{m} [/mm] und Bilddaten y [mm] \in IR^{m}
[/mm]
Gesucht:eine Funktion I:O=[0,w]-> IR [mm] I(x_k)=y_k, [/mm] k=(1,...,m)
Es gibt zwei Fälle:
a) Lineare Interpolation
b) Spline Interpolation
a) Lineare Intepolation
Ansatz: I(x)= [mm] \summe_{j=1}^{m} a_j b_j [/mm] (x)
hier: [mm] b_j (x)=b_0 [/mm] (x-j) mit [mm] b_0 (x)=\begin{cases} 1+x, & \mbox{für } x \in (-1,0] \\ 0, & \mbox{für } sonst \\ 1-x, & \mbox{für } x \in (0,1] \end{cases}
[/mm]
x=x_schlange=a
l=[a] T=a-l für T [mm] \in [/mm] [0,1)
Beobachtung:
Basisfunktionen [mm] b_j [/mm] passen nicht zum Cellcentred Gitter
c(x)=x/h + 0.5 , h=w/m => c([0,w])=[0.5,0.5+m], [mm] c(x_k)=k
[/mm]
Betrachte : [mm] I(c(x_k))=I(k)=\summe_{i=1}^{m} a_i b_i=a_k
[/mm]
[mm] =>I(c(x_k))=\summe_{i=1}^{m} y_i b_i(x)
[/mm]
[mm] I(c(x_k))=y_l b_l [/mm] (a)+ [mm] y_{l+1}b_{l+1} (x)==\begin{cases} y_l (1-T) +y_l+ 1T & \mbox{für } 1<=l<=m \\ y_l T & \mbox{für} l=0 \\ y_m (1-T) & \mbox{für } l=m \end{cases}
[/mm]
b) Spline Interpolation
Analog zu a) nur das wir dort für [mm] b_0 [/mm] den Mutterspline haben:
Laut Skript sind die [mm] b_j [/mm] Basisfunktionen.
Lineare Splines: die stütstellen werden mit geraden verbunden.
Kubische Slines: Stützstellen wird durch Glatte Kurve (2 mal stetig diff.bar verbunden)
Ich denke dass [mm] b_0 [/mm] bzw. die [mm] b_j [/mm] die Verbindungskurven sind oder?
Hmm... ich glaub wir machen es uns zu schwer
Ich hab das Gefühl das wir einfach machen solln was da steht.
Also das man zu Lsg der Aufgabe nicht mehr Information braucht wie da steht
Was meinst du?
Ich hoffe, dass dir meine Ergänzungen geholfen habn
beste grüße
matheja
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> Guten Morgen Al Chawarizmi,
>
> so ganz klar ist mir das auch nicht ich schreib mal das den
> für uns intressanten Teil des Skriptes hier rein:
>
> 1D Interpolation
> Gegeben: ein Cellcentred Gitter x [mm]\in IR^{m}[/mm] und Bilddaten
> y [mm]\in IR^{m}[/mm]
> Gesucht:eine Funktion I:O=[0,w]-> IR
> [mm]I(x_k)=y_k,[/mm] k=(1,...,m)
>
> Es gibt zwei Fälle:
> a) Lineare Interpolation
> b) Spline Interpolation
>
> a) Lineare Intepolation
>
> Ansatz: I(x)= [mm]\summe_{j=1}^{m} a_j b_j[/mm] (x)
> hier: [mm]b_j (x)=b_0[/mm] (x-j) mit [mm]b_0 (x)=\begin{cases} 1+x, & \mbox{für } x \in (-1,0] \\ 0, & \mbox{für } sonst \\ 1-x, & \mbox{für } x \in (0,1] \end{cases}[/mm]
>
> x=x_schlange=a
> l=[a] T=a-l für T [mm]\in[/mm] [0,1)
>
>
> Beobachtung:
> Basisfunktionen [mm]b_j[/mm] passen nicht zum Cellcentred Gitter
> c(x)=x/h + 0.5 , h=w/m => c([0,w])=[0.5,0.5+m], [mm]c(x_k)=k[/mm]
>
> Betrachte : [mm]I(c(x_k))=I(k)=\summe_{i=1}^{m} a_i b_i=a_k[/mm]
>
> [mm]=>I(c(x_k))=\summe_{i=1}^{m} y_i b_i(x)[/mm]
>
> [mm]I(c(x_k))=y_l b_l[/mm] (a)+ [mm]y_{l+1}b_{l+1} (x)==\begin{cases} y_l (1-T) +y_l+ 1T & \mbox{für } 1<=l<=m \\ y_l T & \mbox{für} l=0 \\ y_m (1-T) & \mbox{für } l=m \end{cases}[/mm]
>
>
> b) Spline Interpolation
>
> Analog zu a) nur das wir dort für [mm]b_0[/mm] den Mutterspline
> haben:
>
> Laut Skript sind die [mm]b_j[/mm] Basisfunktionen.
>
> Lineare Splines: die stütstellen werden mit geraden
> verbunden.
> Kubische Slines: Stützstellen wird durch Glatte Kurve (2
> mal stetig diff.bar verbunden)
>
> Ich denke dass [mm]b_0[/mm] bzw. die [mm]b_j[/mm] die Verbindungskurven sind
> oder?
Hallo matheja,
in der Aufgabe (a) ging es um eine Funktion von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR
[/mm]
in (b) geht es jeduch "nur" um einen einfachen kubischen
Spline s: [mm] \IR\to\IR [/mm] oder besser gesagt s: [mm] [1..3]\to\IR
[/mm]
> Hmm... ich glaub wir machen es uns zu schwer
>
> Ich hab das Gefühl das wir einfach machen solln was da
> steht.
> Also das man zu Lsg der Aufgabe nicht mehr Information
> braucht wie da steht
>
Nun, natürlich sieht es so aus, dass man für (b), wo es um
die Aufstellung eines einfachen (eindimensionalen) kubischen
Splines zwischen 3 Punkten geht (auf etwas andere Weise
könnte ich das ohne weiteres hinschreiben), offenbar nur ein
lineares Gleichungssystem für die 3 gesuchten Faktoren
[mm] \alpha_1 [/mm] , [mm] \alpha_2 [/mm] , [mm] \alpha_3 [/mm] aufstellen und lösen muss.
Zu diesem Zweck müsste man nur die Werte der Funktion [mm] b_0
[/mm]
an den Stellen -2 , -1 , 0 , 1 , 2 haben. Ich vermute, dass dies
die Werte 0 , 1 , 0 , 1 , 0 sind, bin mir dessen aber nicht
sicher, da ich nicht weiß, was das b(...) in der Definition
der Funktion [mm] b_0 [/mm] bedeuten soll - ist dies nochmals eine
gewisse Funktion (??) - und weil mir insgesamt die Rolle
dieses "Muttersplines" [mm] b_0(x) [/mm] absolut unklar ist.
Eigentlich möchte ich nur Aufgaben lösen (oder dabei helfen),
die ich wirklich von Grund auf verstehe; und dies ist in dem
vorliegenden Beispiel noch nicht der Fall.
Vielleicht schaut hier ja doch noch jemand rein, der sich
mit dem Begriff "mother spline" auskennt ...
Wenn ich übrigens die "vermuteten" Zahlenwerte der
Funktion [mm] b_0 [/mm] in die Gleichungen einsetze, erhalte ich
die einander widersprechenden Aussagen [mm] \alpha_2=6 [/mm] und [mm] \alpha_2=14 [/mm] .
LG Al-Chw.
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Hallo,
Mutterspline habe ich zwar noch nie gehört, ich kenne das aber so, das die [mm] b_{j} [/mm] die Basisfunktionen des [mm] \IP^3 [/mm] sind also: [mm] a_{3}x^3; a_{2}x^2; a_{1}x [/mm] und [mm] a_{0}(x^0). [/mm] Die Interpolation selbst muss für jedes Teilintervall nicht alle [mm] b_{j} [/mm] enthalten, und die Aufgabe besteht darin die Koeffizienten zu bestimmen [mm] \Rightarrow [/mm] LGS (wie Al-Chwarizmi schon geschrieben hat) . Ich kann mir nur vorstellen, das mit "Mutterspline(s)" diese Basisfunktionen gemeint sind, sicher bin ich mir da jedoch leider auch nicht![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruss Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 So 21.03.2010 | | Autor: | matheja |
Moin alle zusammen,
> Hallo,
> Mutterspline habe ich zwar noch nie gehört, ich kenne das
> aber so, das die [mm]b_{j}[/mm] die Basisfunktionen des [mm]\IP^3[/mm] sind
> also: [mm]a_{3}x^3; a_{2}x^2; a_{1}x[/mm] und [mm]a_{0}(x^0).[/mm] Die
> Interpolation selbst muss für jedes Teilintervall nicht
> alle [mm]b_{j}[/mm] enthalten, und die Aufgabe besteht darin die
> Koeffizienten zu bestimmen [mm]\Rightarrow[/mm] LGS (wie
> Al-Chwarizmi schon geschrieben hat) . Ich kann mir nur
> vorstellen, das mit "Mutterspline(s)" diese Basisfunktionen
> gemeint sind, sicher bin ich mir da jedoch leider auch
> nicht
> Gruss Christian
hmmm... ja bin mir eigentlich auch ziemlich sicher dass die [mm] b_j´s [/mm] die Basifunktionen.
Ich kann mir vorstellen das Punkte im Raum ( Stützstellen) durch die Basisfunktionen miteinander verbunden werden.
Ich würde so vorgehen:
Ich habe beim [mm] b_0 [/mm] eine Zeile untergraben.Sie müsste so aussehen:
[mm] b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}+2(x+1)^{3}+b(x+1) & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}+2(x-1)^{3}+b(x-1) & \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 \mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \mbox{für } sonst \end{cases}
[/mm]
Es gilt [mm] b_j(x)= b_0(x-j)
[/mm]
Das Lgs weißt folgende Form auf:
[mm] B_m [/mm] * a= y
[mm] \pmat{ b_1(1) &... b_m(1) \\.\\.\\ b_1(m) &... b_m(m)}*\vektor{a_1\\.\\.\\ a_m}=\vektor{s_1\\.\\.\\ s_m}
[/mm]
Es gilt: m=3 [mm] s_1=6 [/mm] ; [mm] s_2=12; s_3=14
[/mm]
außerdem: [mm] b_1(1)=b_0(1-1)=b_0(0) [/mm] in den Mutterspline eingesetzt => [mm] b_0(0)=4 [/mm]
[mm] b_2(1)=b_0(-1)=(2-1)^3=1
[/mm]
[mm] b_j(x)=0 [/mm] falls x [mm] \notin [/mm] (-2,2)
=>
[mm] B_m*a_m=S_m [/mm] ; m:läuft von 1-3 => [mm] \pmat{ 4 & 1 & 0 \\1 &4 & 1 \\0 &1 & 4}*\vektor{a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{6\\12\\14}
[/mm]
=> [mm] a_1=1
[/mm]
[mm] =>a_2=2
[/mm]
[mm] =>a_3=3
[/mm]
Ich denke die werte der [mm] b_j [/mm] ´s erhält man aus dem Mutterspline also [mm] b_0(x) [/mm]
Ich bin mir allerdings noch unsicher.
Was meint ihr?
Ist das so korrekt?
beste grüße und ein dickes Danke an alle helfenden insbesondere Al-Chawarizmi
matheja
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:54 So 21.03.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Achso ehe wir das Thema abschließen, interessiert mich natürlich eure Meinung. |
Kann man das so machen?
Wie würdet ihr es machen?
Ist der Ansatz korrekt?
beste Grüße
matheja
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> Ich habe beim [mm]b_0[/mm] eine Zeile untergraben.
du meinst "unterschlagen" ...
(weggelassen oder mit dem aktuellen Ausdruck aus der Finanzwelt: "hinterzogen")
> Sie müsste so aussehen:
>
> [mm]b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}+2(x+1)^{3}+\red{b(x+1)} & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}\red{\underbrace{+}_?}2(x-1)^{3}+\red{b(x-1)} & \ \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 &\mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \quad \mbox{ sonst }\end{cases}[/mm]
Naja, das sieht jetzt besser aus (symmetrischer, vollständig), aber
ich verstehe halt immer noch nicht, was die rot markierten Teile
bedeuten sollen. Überprüfe bitte auch die Vorzeichen nochmals !
> Es gilt [mm]b_j(x)= b_0(x-j)[/mm]
>
> Das Lgs weißt folgende Form auf:
>
> [mm]B_m[/mm] * a= y
>
> [mm]\pmat{ b_1(1) &... b_m(1) \\.\\.\\ b_1(m) &... b_m(m)}*\vektor{a_1\\.\\.\\ a_m}=\vektor{s_1\\.\\.\\ s_m}[/mm]
>
> Es gilt: m=3 [mm]s_1=6[/mm] ; [mm]s_2=12; s_3=14[/mm]
> außerdem:
> [mm]b_1(1)=b_0(1-1)=b_0(0)[/mm] in den Mutterspline eingesetzt =>
> [mm]b_0(0)=4[/mm]
> [mm]b_2(1)=b_0(-1)=(2-1)^3=1[/mm]
> [mm]b_j(x)=0[/mm] falls x [mm]\notin[/mm] (-2,2)
>
> =>
>
> [mm]B_m*a_m=S_m[/mm] ; m:läuft von 1-3 => [mm]\pmat{ 4 & 1 & 0 \\1 &4 & 1 \\0 &1 & 4}*\vektor{a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{6\\12\\14}[/mm]
>
> => [mm]a_1=1[/mm]
> [mm]=>a_2=2[/mm]
> [mm]=>a_3=3[/mm]
>
>
> Ich denke die werte der [mm]b_j[/mm] ´s erhält man aus dem
> Mutterspline also [mm]b_0(x)[/mm]
>
> Ich bin mir allerdings noch unsicher.
> Was meint ihr?
> Ist das so korrekt?
>
> beste grüße und ein dickes Danke an alle helfenden
> insbesondere Al-Chwarizmi
Hallo matheja,
leider bin ich mir ebenfalls noch sehr unsicher (oder
besser gesagt: ziemlich sicher, dass wir noch daneben
liegen). Ich würde einfach gerne mal das Konzept
dieser Spline-Konstruktion verstehen. Kann man das
irgendwo nachlesen ?
Die zu den gegebenen 3 Datenpunkten passende kubische
Splinefunktion (mit "natürlichen" Randbedingungen) habe
ich übrigens auf anderem Weg längst ermittelt:
[mm] s(x)=\begin{cases}\, -x^3+3\,x^2+4\,x & \mbox{ falls } 1\le x\le 2 \\ \ \ x^3-9\,x^2+28\,x-16 & \mbox{ falls } 2\le x\le 3 \end{cases}
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mo 22.03.2010 | | Autor: | matheja |
> > [mm]b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}+2(x+1)^{3}+\red{b(x+1)} & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}\red{\underbrace{+}_?}2(x-1)^{3}+\red{b(x-1)} & \ \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 &\mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \quad \mbox{ sonst }\end{cases}[/mm]
Moin Al Chawarizmi,
ich hab nochmal bei mir ins Script geschaut und hab noch einen Vorzeichenfehler erkennen können.Tut mir leid.Im eifer des Gefechtes passiert so was sorry:
> > [mm]b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}-2(x+1)^{3}+\red{b(x+1)} & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}\red{\underbrace{+}_?}2(x-1)^{3}-\red{b(x-1)} & \ \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 &\mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \quad \mbox{ sonst }\end{cases}[/mm]
> Naja, das sieht jetzt besser aus (symmetrischer,
> vollständig), aber
> ich verstehe halt immer noch nicht, was die rot markierten
> Teile
> bedeuten sollen. Überprüfe bitte auch die Vorzeichen
> nochmals !
Ja.hab ich gemacht.siehe oben.
>
> > Es gilt [mm]b_j(x)= b_0(x-j)[/mm]
> >
> > Das Lgs weißt folgende Form auf:
> >
> > [mm]B_m[/mm] * a= y
> >
> > [mm]\pmat{ b_1(1) &... b_m(1) \\.\\.\\ b_1(m) &... b_m(m)}*\vektor{a_1\\.\\.\\ a_m}=\vektor{s_1\\.\\.\\ s_m}[/mm]
> > Ich denke die werte der [mm]b_j[/mm] ´s erhält man aus dem
> > Mutterspline also [mm]b_0(x)[/mm]
> >
> > Ich bin mir allerdings noch unsicher.
> > Was meint ihr?
> > Ist das so korrekt?
> >
> > beste grüße und ein dickes Danke an alle helfenden
> > insbesondere Al-Chwarizmi
>
>
> Hallo matheja,
>
> leider bin ich mir ebenfalls noch sehr unsicher (oder
> besser gesagt: ziemlich sicher, dass wir noch daneben
> liegen). Ich würde einfach gerne mal das Konzept
> dieser Spline-Konstruktion verstehen. Kann man das
> irgendwo nachlesen ?
Selbes Problem hab ich auch.Mein Script hilft mir diesbzgl. auch nicht wirklich weiter und im Netz hab ich bislang nichts brauchbares gefunden.
Die für uns intressanten Teile aus meinem Script, habe ich ja schon gepostet.
Scheint echt ein sehr spezielles Thema zu sein.
Vielleich gibt es noch jemanden in diesem Forum der input liefern kann.
>
> Die zu den gegebenen 3 Datenpunkten passende kubische
> Splinefunktion (mit "natürlichen" Randbedingungen) habe
> ich übrigens auf anderem Weg längst ermittelt:
>
> [mm]s(x)=\begin{cases}\, -x^3+3\,x^2+4\,x & \mbox{ falls } 1\le x\le 2 \\ \ \ x^3-9\,x^2+28\,x-16 & \mbox{ falls } 2\le x\le 3 \end{cases}[/mm]
>
Kannst du dein Lösungsweg posten ?
Ich will beide Wege vergleichen.Vll können wir dann beide Diskutieren ?
> LG Al-Chw.
>
Ansonsten bin ich grad echt ratlos.Ich hab kein neuen Input :(
Schon ärgerlich, wenn man sich die Aufgabe durchliest denkt man -ist eigentlich nicht schweres dran.
Wahrscheinlich ist das Lösungschema auch nicht schwer.Nur leider ist die Literatur zu diesem Thema mangelhaft.
Ich hoffe ja immer noch auf einen glasklaren Lösungsweg
beste grüße
matheja
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> > > [mm]\blue{b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}-2*(x+1)^{3}+b(x+1) & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}+2*(x-1)^{3}-b(x-1) & \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 &\mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \quad \mbox{ sonst }\end{cases}}[/mm]
Stimmen so jetzt alle Vorzeichen ?
... und immer noch: was ist das [mm] $\blue{b}$ [/mm] ?
(gegebene Konstante, frei wählbar oder noch zu bestimmen ?)
> Scheint echt ein sehr spezielles Thema zu sein.
> Vielleicht gibt es noch jemanden in diesem Forum der input
> liefern kann.
Splines an sich sind kein Problem; aber diese spezielle
(und noch gar nicht eindeutig definierte) Basisfunktion [mm] b_0
[/mm]
(oder "Mutterspline") bereitet mir gewisses Kopfzerbrechen.
> > Die zu den gegebenen 3 Datenpunkten passende kubische
> > Splinefunktion (mit "natürlichen" Randbedingungen) habe
> > ich übrigens auf anderem Weg längst ermittelt:
> >
> > [mm]s(x)=\begin{cases}\, -x^3+3\,x^2+4\,x & \mbox{ falls } 1\le x\le 2 \\ \ \ x^3-9\,x^2+28\,x-16 & \mbox{ falls } 2\le x\le 3 \end{cases}[/mm]
>
> Kannst du deinen Lösungsweg posten ?
Klar:
Ansatz: [mm]s(x)=\begin{cases}\ t(x)=\ a*x^3+b*x^2+c*x+d & \mbox{ falls } 1\le x\le 2 \\ \ u(x)=\ e*x^3+f*x^2+g*x+h & \mbox{ falls } 2\le x\le 3 \end{cases}[/mm]
Bedingungen:
(1) t(1)=6
(2) t(2)=12
(3) u(2)=12
(4) u(3)=14
(5) t'(2)=u'(2)
(6) t''(2)=u''(2)
(7) t''(1)=0
(8) u''(3)=0
Dies ergibt ein [mm] 8\times8 [/mm] - Gleichungssystem für die 8
gesuchten Parameter a, b, ..... , h .
LG Al-Chwarizmi
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> > > > [mm]\blue{b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}-2*(x+1)^{3}+b(x+1) & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}+2*(x-1)^{3}-b(x-1) & \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 &\mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \quad \mbox{ sonst }\end{cases}}[/mm]
> ... immer noch: was ist das [mm]\blue{b}[/mm] ?
hallo matheja,
ich glaube, dass ich jetzt des Rätsels Lösung gefunden habe:
Anstatt ein "$b$" war da wohl die Zahl "6" gemeint. Damit
haben wir (endlich )eine klar definierte Funktion [mm] b_0 [/mm] ,
nämlich:
[mm]\red{b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^3-2*(x+1)^3+6*(x+1) & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^3+2*(x-1)^3-6*(x-1) & \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 &\mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \quad \mbox{ sonst }\end{cases}}[/mm]
Damit hat man in [mm] b_0 [/mm] eine wunderschöne, durchwegs zweimal
differenzierbare Splinefunktion !
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für [mm] b_0 [/mm] gilt die Wertetafel:
$x$ -2 -1 0 1 2
[mm] b_0(x) [/mm] 0 1 4 1 0
LG Al-Chwarizmi
(an solchen Kleinigkeiten beisst man sich oft fast alle Zähne
aus, bis man merkt, wie läppisch der Fehler eigentlich war ...)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [mm]b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}+2(x+1)^{3}+b(x+1) & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}+2(x-1)^{3}+b(x-1) & \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 &\mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \quad sonst \end{cases}[/mm] (so noch nicht korrekt)
>
> Es gilt [mm]b_j(x)= b_0(x-j)[/mm]
>
> Das Lgs weist folgende Form auf:
>
> [mm]B_m[/mm] * a= y
>
> [mm]\pmat{ b_1(1) &... b_m(1) \\.\\.\\ b_1(m) &... b_m(m)}*\vektor{a_1\\.\\.\\ a_m}=\vektor{s_1\\.\\.\\ s_m}[/mm]
>
> Es gilt: m=3 [mm]s_1=6[/mm] ; [mm]s_2=12; s_3=14[/mm]
> außerdem:
> [mm]b_1(1)=b_0(1-1)=b_0(0)[/mm] in den Mutterspline eingesetzt =>
> [mm]b_0(0)=4[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Wie kommst du auf [mm] $\red{b_0(0)=4} [/mm] ???
(tatsächlich ist es richtig; rätselhaft ist nur,
wie du darauf gekommen bist)
Nach deiner obigen Gleichung
$\ [mm] b_0(x)\ [/mm] =\ [mm] x^{3}+2(x-1)^{3}+b(x-1)$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1]
erhalte ich nämlich:
$\ [mm] b_0 [/mm] (0)\ =\ [mm] 0^3+2(0-1)^3+b(x-1)\ [/mm] =\ -2-b$ !!
> [mm]b_2(1)=b_0(-1)=(2-1)^3=1[/mm]
> [mm]b_j(x)=0[/mm] falls x [mm]\notin[/mm] (-2,2)
>
>
> [mm]B_m*a_m=S_m[/mm] ; m:läuft von 1-3 => [mm]\pmat{ 4 & 1 & 0 \\1 &4 & 1 \\0 &1 & 4}*\vektor{a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{6\\12\\14}[/mm]
>
> [mm]=> a_1=1[/mm]
> [mm]=> a_2=2[/mm]
> [mm]=> a_3=3[/mm]
(diese Lösung ist richtig; jetzt solltest du noch sehen, wie du
daraus nun den Lösungs-Spline zusammensetzt !)
Hallo matheja,
nachträglich, nachdem ich endlich und eher zufällig gemerkt
habe, dass das Hauptproblem ein folgenschwerer Schreibfehler
("b" statt "6") war, komme ich nochmals auf die Matrik zurück,
die du hier schon angegeben hattest. Diese Matrix
B = [mm]\pmat{ 4 & 1 & 0 \\1 &4 & 1 \\0 &1 & 4}[/mm]
war richtig, aber woher hattest du sie ??
Insbesondere den darin mehrfach vorkommenden Wert 4 hättest
du eigentlich nur finden können, wenn du tatsächlich schon
gewusst hättest, dass das "b" in deinen Gleichungen tatsächlich
einfach eine "6" sein sollte !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Di 23.03.2010 | | Autor: | matheja |
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> > [mm]b_{0} (x)=\begin{cases} (x+2)^{3} & \mbox{für } x \in [-2,-1) \\ -x^{3}+2(x+1)^{3}+b(x+1) & \mbox{für } x \in [-1,-0] \\ x^{3}+2(x-1)^{3}+b(x-1) & \mbox{für } x \in [0,1]\\ (2-x)^3 &\mbox{für } x \in [1,2) \\ 0 & \quad sonst \end{cases}[/mm]
> (so noch nicht korrekt)
> >
> > Es gilt [mm]b_j(x)= b_0(x-j)[/mm]
> >
> > Das Lgs weist folgende Form auf:
> >
> > [mm]B_m[/mm] * a= y
> >
> > [mm]\pmat{ b_1(1) &... b_m(1) \\.\\.\\ b_1(m) &... b_m(m)}*\vektor{a_1\\.\\.\\ a_m}=\vektor{s_1\\.\\.\\ s_m}[/mm]
>
> >
> > Es gilt: m=3 [mm]s_1=6[/mm] ; [mm]s_2=12; s_3=14[/mm]
>
> > außerdem:
>
> > [mm]b_1(1)=b_0(1-1)=b_0(0)[/mm] in den Mutterspline eingesetzt =>
>
> > [mm]b_0(0)=4[/mm]
>
>
> Wie kommst du auf [mm]$\red{b_0(0)=4}[/mm] ???
Also.Das tut mir unendlich leid.Natürlich hab ich 6 statt b gemeint und im script steht auch 6.
Ich war so geblendet, dabei war es die ganze Zeit richtig nur hab ich mich einfach nur vertippt.Es tut mir echt leid
>
> (tatsächlich ist es richtig; rätselhaft ist nur,
> wie du darauf gekommen bist)
>
> Nach deiner obigen Gleichung
>
> [mm]\ b_0(x)\ =\ x^{3}+2(x-1)^{3}+b(x-1)[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> erhalte ich nämlich:
>
> [mm]\ b_0 (0)\ =\ 0^3+2(0-1)^3+b(x-1)\ =\ -2-b[/mm] !!
>
>
> > [mm]b_2(1)=b_0(-1)=(2-1)^3=1[/mm]
>
> > [mm]b_j(x)=0[/mm] falls x [mm]\notin[/mm] (-2,2)
> >
> >
> > [mm]B_m*a_m=S_m[/mm] ; m:läuft von 1-3 => [mm]\pmat{ 4 & 1 & 0 \\1 &4 & 1 \\0 &1 & 4}*\vektor{a_1\\a_2\\a_3}=\vektor{6\\12\\14}[/mm]
>
> >
> > [mm]=> a_1=1[/mm]
> > [mm]=> a_2=2[/mm]
> > [mm]=> a_3=3[/mm]
>
> (diese Lösung ist richtig; jetzt solltest du noch sehen,
> wie du
> daraus nun den Lösungs-Spline zusammensetzt !)
>
>
> Hallo matheja,
>
> nachträglich, nachdem ich endlich und eher zufällig
> gemerkt
> habe, dass das Hauptproblem ein folgenschwerer
> Schreibfehler
> ("b" statt "6") war, komme ich nochmals auf die Matrik
> zurück,
> die du hier schon angegeben hattest. Diese Matrix
>
> B = [mm]\pmat{ 4 & 1 & 0 \\1 &4 & 1 \\0 &1 & 4}[/mm]
>
> war richtig, aber woher hattest du sie ??
Ich hab die ganze Zeit vor mir her gerechnet und in meiner ursprünglichen Lösung war ich auf dieses Ergebnis gekommen
In der ganzen Hektik hab ich dann so geschmiert, dass ich meine eigene Schrift nicht lesen konnte, was dann dazugeführt hat , dass ich falsch gestippt habe, was mir leider mehrmals passiert ist :(
> Insbesondere den darin mehrfach vorkommenden Wert 4
> hättest
> du eigentlich nur finden können, wenn du tatsächlich
> schon
> gewusst hättest, dass das "b" in deinen Gleichungen
> tatsächlich
> einfach eine "6" sein sollte !
> LG Al-Chw.
Ein dickes Lob an dich für deine Geduld und Nachsicht mit mir.Ich hab nie Aufgeben.Schade, dass es ein banaler Fehler meinerseits war obwohl ich die ganze Zeit eigentlich das richtige gemeint habe.
Nochmals derbes Danke an Al-Chawarizmi
du hast mir unendlich viel geholfen
beste grüße
matheja
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 Danke und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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hyperbolisches Paraboloid