Lineare Hülle von M={Polynome} < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Squdo |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge M⊆ℝ≤3[x], [mm] M=\{x^3-x^2, x^3+1, x^2+1\}.
[/mm]
a)Begründen sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass span(M) ein Teilraum des Vektorraums ℝ≤3[x] ist.
b)Beweisen Sie, dass die Vektoren in M linear abhängig sind.
c) Zeigen Sie, dass [mm] {x^3-x^2, x^2+1}⊂ [/mm] M ein Erzeugendensystem von span(M) ist.
d) Bestimmen Sie eine Basis von span(M) und geben Sie die Dimension von span(M) an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
es ist mein erster Post hier und ich hoffe das ich alles soweit richtig mache :)
Ich habe Probleme bei den letzten beiden Teilaufgaben die lineare Hülle bei einer Menge mit Polynomen zu bestimmen um damit arbeiten zu können.
Soweit ich es überblicken kann ist eine Lineare Hülle ja die Anzahl aller Linearkombinationen, wobei das ja für einen anderen Vektorraum ohne Polynomen definiert wurde, weshalb ich nicht denke, das [mm] span(M):=a_1*(x^3-x^2)+a_2*(x^3+1)+a_3*(x^2+1) [/mm] ist.
Meine Frage ist also, wie man die Lineare Hülle für eine Menge mit Polynomen bestimmt.
Mfg Squdo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Menge M⊆ℝ≤3[x], [mm]M=\{x^3-x^2, x^3+1, x^2+1\}.[/mm]
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> a)Begründen sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu
> bemühen, dass span(M) ein Teilraum des Vektorraums
> ℝ≤3[x] ist.
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> b)Beweisen Sie, dass die Vektoren in M linear abhängig
> sind.
>
> c) Zeigen Sie, dass [mm]{x^3-x^2, x^2+1}⊂[/mm] M ein
> Erzeugendensystem von span(M) ist.
>
> d) Bestimmen Sie eine Basis von span(M) und geben Sie die
> Dimension von span(M) an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> es ist mein erster Post hier und ich hoffe das ich alles
> soweit richtig mache :)
>
> Ich habe Probleme bei den letzten beiden Teilaufgaben die
> lineare Hülle bei einer Menge mit Polynomen zu bestimmen
> um damit arbeiten zu können.
>
> Soweit ich es überblicken kann ist eine Lineare Hülle ja
> die Anzahl aller Linearkombinationen,
... die Menge aller Linearkombinationen !!!
> wobei das ja für
> einen anderen Vektorraum ohne Polynomen definiert wurde,
Hä ??? Was meinst Du damit ?
> weshalb ich nicht denke, das
> [mm]span(M):=a_1*(x^3-x^2)+a_2*(x^3+1)+a_3*(x^2+1)[/mm] ist.
Doch, fast:
[mm]span(M):=\{a_1*(x^3-x^2)+a_2*(x^3+1)+a_3*(x^2+1): a_1,a_2,a_3 \in \IR\}[/mm]
FRED
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> Meine Frage ist also, wie man die Lineare Hülle für eine
> Menge mit Polynomen bestimmt.
>
> Mfg Squdo
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> Gegeben sei die Menge M⊆ℝ≤3[x], [mm]M=\{x^3-x^2, x^3+1, x^2+1\}.[/mm]
> Soweit ich es überblicken kann ist eine Lineare Hülle ja
> die Anzahl aller Linearkombinationen,
Hallo,
nicht die Anzahl, sondern die Menge der Linearkombinationen - also der Beutel, welcher alle Linearkombinationen enthält.
> wobei das ja für
> einen anderen Vektorraum ohne Polynomen definiert wurde,
Oh.
Du hast Wesentliches nicht verstanden.
In der Vorlesung wurde gesagt, was ein Vektorraum ist.
Die Zutaten: eine Menge, ein Körper, zwei Verknüpfungen, welche einem Strauß von Axiomen gehorchen.
Für solche Gebilde kann man eine Fülle von Definitionen aufstellen und Sätze zeigen.
All diese Sätze gelten für sämtliche Vektorräume, egal, ob sie aus Spaltenvektoren, Funktionen oder jungen Katzen bestehen.
So. Ihr habt nun in der Vorlesung festgestellt, daß [mm] \IR_{\le 3}[x] [/mm] zusammen mit dem Körper der reellen Zahlen und den beiden einschlägigen Verknüpfungen sämtlichen Vektorraumaxiomen gehorcht.
Also ist es ein Vektorraum.
Was sind Vektoren? Vektoren sind Elemente eines Vektorraumes. Nicht mehr, nicht weniger. Die Vektorräume [mm] \IR^n, [/mm] die Du aus der Schule kennst, und die Spaltenvektoren enthalten, sind lediglich Beispiele für Vektorräume.
Die Moral von der Geschicht': [mm] \IR_{\le 3}[x] [/mm] ist ein Vektorraum. In der Menge sind Polynome. Also sind Polynome die Elemente dieses Vektorraumes=Vektoren.
Gruß v. Angela
> weshalb ich nicht denke, das
> [mm]span(M):=a_1*(x^3-x^2)+a_2*(x^3+1)+a_3*(x^2+1)[/mm] ist.
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> Meine Frage ist also, wie man die Lineare Hülle für eine
> Menge mit Polynomen bestimmt.
>
> Mfg Squdo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Di 06.12.2011 | | Autor: | Squdo |
Ok tausend dank - jetzt habe ich es nach einer guten Portion Schlaf und den Antworten hier auch kapiert. :)
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