Lineare Hülle, Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm]U_1 = <\{x_1, x_2, x_3\}>[/mm] und [mm]U_2 = <\{y_1, y_2, y_3\}>[/mm], wobei
[mm] x_1 = \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}, x_2 = \vektor{ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0}, x_3 = \vektor{ 1 \\ -1 \\ 3 \\ 1 }[/mm]
[mm] y_1 = \vektor{3 \\ 1 \\ 7 \\ 3}, y_2 = \vektor{ -3 \\ 2 \\ -5 \\ -1}, y_3 = \vektor{ 0 \\ 3 \\ 2 \\ 2 }[/mm]
Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von [mm] U_1, U_2, U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] und [mm] U_1 \cap U_2[/mm]. |
Also, ich weiß, dass die lineare Hülle eine Menge von Linearkombinationen ist. Ganz habe ich die Definition nicht verstanden und hätte gerne ein Beispiel. Wenn jemand es beispielsweise an [mm] U_1 [/mm] mir zeigt, oder sich ein paar Vektoren aus den Fingern saugt, wäre ich dankbar. Ich würde es gerne nachvollziehen.
Basis und Dimension dürfte nicht so dass Problem sein, wenn ich das richtig verstanden habe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Es seien [mm]U_1 = <\{x_1, x_2, x_3\}>[/mm] und [mm]U_2 = <\{y_1, y_2, y_3\}>[/mm],
> wobei
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> [mm]x_1 = \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}, x_2 = \vektor{ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0}, x_3 = \vektor{ 1 \\ -1 \\ 3 \\ 1 }[/mm]
> [mm]y_1 = \vektor{3 \\ 1 \\ 7 \\ 3}, y_2 = \vektor{ -3 \\ 2 \\ -5 \\ -1}, y_3 = \vektor{ 0 \\ 3 \\ 2 \\ 2 }[/mm]
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> Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von [mm]U_1, U_2, U_1[/mm]
> + [mm]U_2[/mm] und [mm]U_1 \cap U_2[/mm].
Hallo,
in der linearen Hülle von [mm] \{x_1, x_2, x_3\} [/mm] sind gerade sämtliche Linearkombinationen dieser drei Vektoren, also Vektoren der Gestalt [mm] x=\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3.
[/mm]
Die Vektoren [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] sind also ein Erzeugendensystem der linearen Hülle.
Eine Basis des Raumes U findest Du z.B., indem Du aus diesen drei Vektoren eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausfilterst.
Offensichtlich sind ja [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] linear unabhängig, und Du mußt nun nur noch gucken, ob auch [mm] \{x_1, x_2, x_3\} [/mm] linear unabhängig ist. Wenn ja, ist das Deine Basis, wenn nein, ist [mm] \{x_1, x_2\} [/mm] die Basis der linearen Hülle.
Es gibt noch einen Weg, das ganz schematisch zu berechnen: man legt die Vektoren als Zeilen in eine Matrix, bringt diese auf Zeilenstufenform, und die Zeilen, die nichtleer sind, ergeben dann wiederaufgerichtet eine Basis des Raumes, der v. den Ursprungsvektoren erzeugt wird.
Gruß v. Angela
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