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| Aufgabe | Finden sie sämtliche Lösungen y = y(x) folgender Differentialgleichung
[mm] e^{-x}y' [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] e^{y} [/mm] |
Ich denke es handelt sich hier um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung.... also hab ich es erstmal nach y' aufgelöst
y' = [mm] \bruch{e^{y} + e^{-x} }{e^{-x}} [/mm]
y' = [mm] \bruch{e^{y}}{e^{-x}} [/mm] + 1
y' = [mm] e^{y} e^{x} [/mm] + 1
Jetzt hab ich hier ein bischen Probleme mit dem Verständniss... dieses "+1" wie muss ich das nun in meiner weiteren betrachtung berücksichtigen ? kann man es zuerst weglassen bzw. gleich "0" setzen... käme mir irgendwie komisch vor... und dann sozusagen die homogene Lösung berechnen ?
Also das würde bei mir folgendes ergeben...
[mm] y_{homogen} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] + c
Aber ich kann ja "1" nicht gleich null setzen ??
Vielend dank für eure Hilfe...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 So 11.02.2007 | | Autor: | galileo |
Hallo HerrSchaf
[mm]
y^{\prime}-1=e^{y}e^{x}
[/mm]
Wir machen die Variablensubstitution
[mm]
z=y-x,\quad z^{\prime}=y^{\prime}-1
[/mm]
[mm]
z^{\prime}=e^{z+x}e^{x}=e^{z}e^{2x}
[/mm]
[mm]
e^{-z}dz=e^{2x}dx
[/mm]
Jetzt kann man integrieren:
[mm]
-e^{-z}=\bruch{1}{2}e^{2x}-C\quad\gdw\quad
e^{-y+x}=C-\bruch{1}{2}e^{2x}\quad\gdw\quad
\boxed{y=x-\ln\left( C-\bruch{1}{2}e^{2x}\right)}
[/mm]
Alles klar? Wenn nicht, frage bitte weiter! 
Viele Grüße,
galileo
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