Lineare DGL allgm. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Sa 04.10.2008 | | Autor: | scai |
| Aufgabe | | allgemeine Lösung der folgenden DGL |
Ich habe folgende DGL:
[mm]y''+4y'+4y=0[/mm]
Nach Anwenden der allgemeinen Lösungsformel erhalte ich für Lambda die beiden Nullstellen -2, -2 (also im Prinzip nur eine).
Demnach müsste meiner Meinung nach die allgemeine Lösung lauten:
[mm]y=c*e^{-2t}[/mm]
Maple meint aber, die Lösung wäre:
[mm]y=c_1*e^{-2t} + c_2*t*e^{-2t}[/mm]
Maple setzt also erstens beide Nullstellen ein (die ja identisch sind), und hängt bei der einen noch *t dran. Ich habe keine Ahnung wie Maple auf diese Lösung kommt.
Wie lautet die korrekte allgemeine Lösung dieser DGL?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 04.10.2008 | | Autor: | scai |
> Maple hat recht mit seiner Lösung, du musst die doppelte
> NST berücksichtigen und daher
> [mm]y(t)=c_1\cdot{}e^{-2t}+c_2\cdot{}t\cdot{}e^{-2t}[/mm]
> schreiben.
>
> Zur genaueren Erklärung schaue mal
> ![[]](/images/popup.gif) hier
> vorbei
>
Danke, das hat mir geholfen. Jedoch verstehe ich nicht ganz, warum man die doppelte Nullstelle berücksichtigen muss. Es existiert doch nur eine Nullstelle, oder? Und warum führt man den Parameter t zusätzlich ein?
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Hallo nochmal,
> > Maple hat recht mit seiner Lösung, du musst die doppelte
> > NST berücksichtigen und daher
> > [mm]y(t)=c_1\cdot{}e^{-2t}+c_2\cdot{}t\cdot{}e^{-2t}[/mm]
> > schreiben.
> >
> > Zur genaueren Erklärung schaue mal
> >
> hier
> > vorbei
> >
> Danke, das hat mir geholfen. Jedoch verstehe ich nicht
> ganz, warum man die doppelte Nullstelle berücksichtigen
> muss. Es existiert doch nur eine Nullstelle, oder? Und
> warum führt man den Parameter t zusätzlich ein?
Das ist ja kein Parameter, sondern die Variable, von der die Funktion abhängt: $y(t)=...$
Wenn du die doppelte NST und die damit verbundene zweite Lösungsfunktion nicht berücksichtigst, geht dir eine Lösung verloren!
Setze doch mal [mm] $y_2(t)=c_2\cdot{}t\cdot{}e^{-2t}$ [/mm] in die homogene Dgl. ein und rechne nach, dass es eine Lösung ist.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Sa 04.10.2008 | | Autor: | scai |
Ich glaube es dir ja :).
Dankeschön.
Grüße,
scai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Sa 04.10.2008 | | Autor: | scai |
Nun scheine ich es auch verstanden zu haben. Der weitere Faktor t dient zum Gewährleisten der linearen Unabhängigkeit der beiden Funktionen.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
