Lineare DGL, Konstante Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] A:\IR \to \IR^{n^{2}} [/mm] eine stetige nxn-Matrix.
Man zeige:
A ist schiefsymmetrisch [mm] \gdw [/mm] jede Lösung x der Differentialgleichung x'=Ax besitzt konstante Euklidnorm , d.h. [mm] x_{1}^{2}(t)+ [/mm] ... + [mm] x_{n}^{2}(t) \equivc. [/mm] |
Hallo,
also den ersten Teil, [mm] "\Rightarrow" [/mm] hab ich, glaub ich, gelöst;
Von einer früheren Übung wusste ich, dass gilt [mm] x(t)=exp(At)x_{0}. [/mm]
Dann gilt [mm] \det(exp(At))=exp(tr(At)). [/mm]
Wegen A schiefsymmetrisch ist tr(A)=tr(At)=0, also [mm] \exp((At))=1=det(exp(At)). [/mm]
Daraus folgt: [mm] \exp(At) [/mm] ist orthogonal, also längentreu, also [mm] ||x(t)||=||x_{0}||
[/mm]
Was den zweiten Teil angeht bin ich leider total ratlos. Ich kann zeigen, dass tr(At)=0 sein muss, das reicht halt bloß nicht für A=schiefsymmetrisch. Für jede Idee für einen Ansatz wäre ich dankbar.
Grüße von,
Karl
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
