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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Aufgabe 3:
Berechnen Sie [mm] e^{A+B} [/mm] , [mm] e^{A} e^{B} [/mm] , [mm] e^{B} e^{A} [/mm] sowie AB und
BA für
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }, [/mm] B= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Aufgabe 4:
Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] x'=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x, x(0)=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Berechnen Sie dazu zuerst mithilfe von Eigenvektoren ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung. |
Hallo Zusammen,
kann mir da jemand bitte Tipps geben wie ich an diese Aufgabe rangehen kann?
Vielen Dank im Voraus
Vg Exel84
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mo 24.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe 3:
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> Berechnen Sie [mm]e^{A+B}[/mm] , [mm]e^{A} e^{B}[/mm] , [mm]e^{B} e^{A}[/mm] sowie AB
> und
> BA für
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },[/mm] B= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
>
> Aufgabe 4:
>
> Lösen Sie das Anfangswertproblem:
>
> [mm]x'=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x, x(0)=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Berechnen Sie dazu zuerst mithilfe von Eigenvektoren ein
> Fundamentalsystem der Differentialgleichung.
> Hallo Zusammen,
>
> kann mir da jemand bitte Tipps geben wie ich an diese
> Aufgabe rangehen kann?
Zu Aufgabe 3:
Wie ist denn für eine Matrix C der Ausdruck [mm] e^C [/mm] definiert ?
Zu Aufgabe 4: Ihr hattet in der Vorlesung sicher eine Methode behandelt, wie man ein Fundamentalssystem von
[mm] x'=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x
[/mm]
bestimmen kann. Wende diese Methode an.
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Vg Exel84
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ist [mm] e^{C} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}a^{k} [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 24.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> ist [mm]e^{C}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}a^{k}[/mm] ??
Nein. [mm]e^{C}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}C^{k}[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Di 25.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
hallo,
ich habe jetzt die ganze Zeit versucht die Aufgabe nach der Formel zu lösen aber ich krieg das nicht hin. Heute in der Übungstunden hat der Übungsleiter ein Beispiel gerechnet, wo er erst bei der Matrix A die Einheitsmatrix herausgezogen hat, dann wurde es einfacher.
Das versuche ich jetzt auch aber krieg da einfach nix hin. Kann mir das vielleicht jemand für die Matrix A mal zeigen wie das am besten klappt?
Vielen Dank im vorraus
Vg Exel84
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 25.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> ich habe jetzt die ganze Zeit versucht die Aufgabe nach der
> Formel zu lösen aber ich krieg das nicht hin. Heute in der
> Übungstunden hat der Übungsleiter ein Beispiel gerechnet,
> wo er erst bei der Matrix A die Einheitsmatrix
> herausgezogen hat, dann wurde es einfacher.
> Das versuche ich jetzt auch aber krieg da einfach nix hin.
> Kann mir das vielleicht jemand für die Matrix A mal zeigen
> wie das am besten klappt?
>
Für
A= $ [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] $ ist [mm] A^n=A [/mm] für jedes n [mm] \ge [/mm] 1.
Damit ist [mm] e^A=E+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{A}{n!}.
[/mm]
So, jetzt rechne Du mal. Du solltest bekommen
[mm] e^A=\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
FRED
> Vielen Dank im vorraus
>
> Vg Exel84
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 25.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
also ich hab so gerechnet:
[mm] e^{tA}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ t*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+ \bruch{t^{2}}{2}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+ \bruch{t^{3}}{6}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+...
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{t^{k}}{k!} \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
= [mm] e^{tA}=\pmat{ 1+t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... & t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... \\ 0 & 1 }
[/mm]
stimmt das so?
Wir haben in der Übung dazu noch das t verwendet. Kann man das auch ohne dem schreiben? Und wie kommst du am Ende auf dein Ergebnis mit den e?
Vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Di 25.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> also ich hab so gerechnet:
>
> [mm]e^{tA}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ t*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+ \bruch{t^{2}}{2}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+ \bruch{t^{3}}{6}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+...[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{t^{k}}{k!} \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
Das stimmt nicht. Richtig:
[mm] =\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{t^{k}}{k!} \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
>
> = [mm]e^{tA}=\pmat{ 1+t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... & t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> stimmt das so?
Ja, jetzt stimmts wieder.
> Wir haben in der Übung dazu noch das t verwendet. Kann man
> das auch ohne dem schreiben?
Ein Wurstsalat ist ein Wurstsalat. Ein Straßburger Wurstsalat ist ein Wurstsalat mit Käse.
Wenn Ihr in der Übung das t verwendet habt, so war [mm] e^{tA} [/mm] zu bestimmen. Wenn Du das "ohne dem t" schreibst, so berechnest Du [mm] e^{A}. [/mm] Das wird in obiger Aufgabe verlangt.
> Und wie kommst du am Ende auf
> dein Ergebnis mit den e?
... mit dem e....
Wir haben:
[mm]e^{tA}=\pmat{ 1+t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... & t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... \\ 0 & 1 }[/mm]
Für t=1 ist das
[mm]e^{A}=\pmat{ 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... \\ 0 & 1 }[/mm]
Es ist
[mm] $1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+...=e [/mm] $
und
[mm] $1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+...=e-1$
[/mm]
Grüße von den FRED
>
> Vg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 25.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort. Jetzt habe ich es verstanden.
Muss ich jetzt um [mm] e^{A+B}, e^{A}e^{B}, e^{B}e^{A}, [/mm] AB und BA einfach die beiden Matrizen einsetzen und dann jeweils ausrechnen oder ist das komplizierter?
Bei AB und BA muss ich doch einfach die in der Aufgabe vorgegebenen Matrizen multiplizieren oder?
Vg Exel84
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Di 25.11.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort. Jetzt habe
> ich es verstanden.
>
> Muss ich jetzt um [mm]e^{A+B}, e^{A}e^{B}, e^{B}e^{A},[/mm] AB und
> BA einfach die beiden Matrizen einsetzen und dann jeweils
> ausrechnen
Ja.
> oder ist das komplizierter?
Nein.
> Bei AB und BA muss ich doch einfach die in der Aufgabe
> vorgegebenen Matrizen multiplizieren oder?
Ja.
FRED
>
> Vg Exel84
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Di 25.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
nochmals vielen Dank für deine Hilfe!!
Vg Exel84
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 25.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
eine letzte Frage zu der Aufgabe habe ich noch:
AB = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
BA = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] e^{A+B} [/mm] = [mm] \pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 } [/mm] = [mm] e^{A}e^{B} [/mm] = [mm] e^{B}e^{A}
[/mm]
stimmt doch so oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> eine letzte Frage zu der Aufgabe habe ich noch:
>
> AB = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> BA = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
Das stimmt.
>
> [mm]e^{A+B}[/mm] = [mm]\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }[/mm] = [mm]e^{A}e^{B}[/mm] =
> [mm]e^{B}e^{A}[/mm]
>
> stimmt doch so oder?
Hier stimmt gar nichts ! Wo sind Deine Rechnungen ???
Ich habs mal gerechnet und bin auf folgendes gekommen: die Matrizen
[mm] e^{A+B},e^{A}e^{B} [/mm] und [mm] e^{B}e^{A}
[/mm]
sind paarweise verschieden.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ok, hier sind meine Rechnungen dazu:
[mm] e^{A+B}= e^{\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }} [/mm]
[mm] e^{A}e^{B}= e^{A+B}=e^{\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}
[/mm]
[mm] e^{B}e^{A}= e^{B+A}=e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}
[/mm]
Vg Exel84
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok, hier sind meine Rechnungen dazu:
>
> [mm] e^{A+B}= e^{\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}
[/mm]
Das ist doch Unfug !
Es ist
[mm] e^{A+B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} [/mm]
> [mm] =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}[/mm] [/mm]
>
> [mm]e^{A}e^{B}= e^{A+B}=e^{\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}[/mm]
>
Gleicher Fehler wie oben.
>
> [mm]e^{B}e^{A}= e^{B+A}=e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}[/mm]
Gleicher Fehler wie oben.
FRED
>
>
> Vg Exel84
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ok, wäre das dann für
[mm] e^{A}e^{B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} [/mm] = [mm] e^{\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }}
[/mm]
[mm] e^{B}e^{A}=e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }} [/mm] = [mm] e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}
[/mm]
stimmt denn das so?
Vg Exel84
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, wäre das dann für
>
> [mm]e^{A}e^{B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}[/mm]
> = [mm]e^{\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }}[/mm]
???? Meinst Du etwa es gilt [mm] e^{A}e^{B}=e^{AB} [/mm] ?
Wenn ja, so ist das grober Unfug !
[mm] e^A [/mm] kennen wir schon. Wie wäre es, wenn Du Dir die Mühe machen würdest, die Matrix [mm] e^B [/mm] zu berechnen. Erst dann kannst Du [mm] e^{A}e^{B} [/mm] berechnen.
>
> [mm]e^{B}e^{A}=e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}[/mm]
> = [mm]e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}[/mm]
Gleicher Unsinn wie oben !
FRED
>
> stimmt denn das so?
>
> Vg Exel84
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ich habe [mm] e^{B} [/mm] schon berechnet. Das ist das
[mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
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> ich habe [mm]e^{B}[/mm] schon berechnet. Das ist das
>
> [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
>
Stimmt!
Gruß Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
B= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] ist gegeben laut Aufgabenstellung
ich habe dann für [mm] e^{B}=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] heraus bekommen.
Das stimmt doch oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ausführliche Berechnung von B:
gegeben: B= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }+....
[/mm]
= [mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ \summe_{k=1}^{\infty}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^{k}
[/mm]
= [mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
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> ausführliche Berechnung von B:
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> gegeben: B= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
>
> [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }+....[/mm]
>
> = [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ \summe_{k=1}^{\infty}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^{k}[/mm]
äh wie wurde denn :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{B^k}{k!}
[/mm]
zu
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^{k}[/mm]
>
> = [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
>
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
sorry, ich meinte
[mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^{k}
[/mm]
und dann kann ich ja nach der 2. Fakultät aufhören, da ja
[mm] \bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
und somit kommt dann
[mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] raus. Oder??
Vg
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> [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] raus. Oder??
>
Richtig - tut mir leid habe vorher die andere Matrix , also A, betrachtet.
> Vg
Lg.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ja kein Problem. Danke für deine Hilfe
Stimmt die Berechnung:
[mm] e^{A+B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}= e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}
[/mm]
[mm] e^{A}e^{B}=?
[/mm]
[mm] e^{B}e^{A}=?
[/mm]
Wie berechne ich die anderen beiden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> ja kein Problem. Danke für deine Hilfe
>
> Stimmt die Berechnung:
>
> [mm]e^{A+B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}= e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}[/mm]
Willst Du uns veralbern ? Es ist [mm] $A+B=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Also ist zu berechnen [mm] e^\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
>
> [mm]e^{A}e^{B}=?[/mm]
Wie berechnet man das Produkt zweier Matrizen ?
>
> [mm]e^{B}e^{A}=?[/mm]
Wie berechnet man das Produkt zweier Matrizen ?
FRED
>
>
> Wie berechne ich die anderen beiden?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:41 Do 27.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ich habe doch weiter oben die Multiplikation zweier Matrizen angewendet, da meintest du dass das falsch wäre. Deshalb hat es mich verwirrt.
Also
[mm] e^{A}e^{B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}= e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}
[/mm]
[mm] e^{B}e^{A}= e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}= e^{\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }}
[/mm]
Vg Exel84
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe doch weiter oben die Multiplikation zweier
> Matrizen angewendet, da meintest du dass das falsch wäre.
> Deshalb hat es mich verwirrt.
>
> Also
>
> [mm]e^{A}e^{B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}= e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}[/mm]
>
> [mm]e^{B}e^{A}= e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}= e^{\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }}[/mm]
Beides ist falsch !! Du bist beratungsresistent !
Weiter oben hab ich Dir schon gesagt, dass [mm] e^{A}e^{B}=e^{AB} [/mm] im allgemeinen falsch ist.
Das ist ja schon für Zahlen falsch. Nach Deiner "Regel" hätten wir für x [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] e^{x+1}=e^xe^1=e^{x*1}=e^x, [/mm] also $e=1$.
Es war:
[mm] e^A=\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] e^B=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Dann ist
[mm] $e^A*e^B=\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 } *\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
und
[mm] $e^B*e^A=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 } [/mm] $
Jetzt rechne Du die Prudukte aus.
FRED
>
> Vg Exel84
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 27.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
jetzt muss es aber stimmen:
A+B= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] e^{A+B}= \pmat{ 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 2+\bruch{2}{2!}+\bruch{2}{3!}+... \\ 0 & 1 }= \pmat{ 2+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 3+\bruch{1}{3}+... \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] e^{A}e^{B}= \pmat{ e & 2e-1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Vg Exel84
[mm] e^{B}e^{A}= \pmat{ e & e \\ 0 & 1 }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> jetzt muss es aber stimmen:
>
> A+B= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]e^{A+B}= \pmat{ 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 2+\bruch{2}{2!}+\bruch{2}{3!}+... \\ 0 & 1 }= \pmat{ 2+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 3+\bruch{1}{3}+... \\ 0 & 1 }[/mm]
Leider ist das falsch !
>
> [mm]e^{A}e^{B}= \pmat{ e & 2e-1 \\ 0 & 1 }[/mm]
O.K.
>
> Vg Exel84
>
> [mm]e^{B}e^{A}= \pmat{ e & e \\ 0 & 1 }[/mm]
O.K.
FRED
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 27.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Was ist denn bitte da falsch? Ich versteh das nicht. Diesmal war ich mir sicher. Habe erst A+B gerechnet und dann [mm] e^{A+B} [/mm] gerechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Was ist denn bitte da falsch? Ich versteh das nicht.
> Diesmal war ich mir sicher. Habe erst A+B gerechnet und
> dann [mm]e^{A+B}[/mm] gerechnet.
Rechne mal laaaaangsaaaaam und ausführlich vor. Dann solltest Du auf
[mm] e^{A+B}=\pmat{ e & e^2-1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Edit: man kommt auf [mm] e^{A+B}=\pmat{ e & 2(e-1) \\ 0 & 1 }
[/mm]
kommen.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ok.
Also
A+B= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }= \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}(A+B)^{k}= E+(A+B)+\bruch{1}{2!}(A+B)^{2}+\bruch{1}{3!}(A+B)^{3}+...
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{2!}\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{3!}\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+...
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1+1+ \bruch{1}{2!}+ \bruch{1}{3!}+... & 0+2+ \bruch{2}{2!}+ \bruch{2}{3!}+... \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ e & 2(e-1) \\ 0 & 1 }
[/mm]
Das hab ich so gerechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok.
>
> Also
> A+B= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }= \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}(A+B)^{k}= E+(A+B)+\bruch{1}{2!}(A+B)^{2}+\bruch{1}{3!}(A+B)^{3}+...[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{2!}\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{3!}\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+...[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ 1+1+ \bruch{1}{2!}+ \bruch{1}{3!}+... & 0+2+ \bruch{2}{2!}+ \bruch{2}{3!}+... \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ e & 2(e-1) \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Das hab ich so gerechnet.
Pardon. Diesmal hab ich mich vertan. Du hast richtig gerechnet.
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ok gut.
Vielen Dank für deine Mühen. Jetzt hab ich es verstanden wie man es berechnet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Zu Aufgabe 4:
hier mein Rechenweg:
gegeben:
x'= [mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x, x(0)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
1) Eigenwerte bestimmen: [mm] p(\lambda)=det (A-\lambda [/mm] E):
Ergebnisse davon sind:
= [mm] \lambda_{1}=-1; \lambda_{2}=1; \lambda_{3}=-5
[/mm]
2) Eigenvektoren: [mm] (A-\lambda [/mm] E)x=0
Ergebnisse davon sind (mit Gauß-Verfahren):
für [mm] \lambda_{1}=-1:
[/mm]
= [mm] x_{1}=\vektor{ x_{1}\\ 0 \\ 0}
[/mm]
für [mm] \lambda_{2}=1:
[/mm]
= [mm] x_{2}=\vektor{\bruch{1}{10}x_{3}\\ -\bruch{1}{5}x_{3} \\ x_{3}}
[/mm]
für [mm] \lambda_{2}=-5:
[/mm]
= [mm] x_{3}=\vektor{\bruch{1}{4}x_{3}\\ x_{3} \\ x_{3}}
[/mm]
Wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen? Was muss ich denn mit gegebenen x(0) machen? Bei uns im Skript steht das nicht so gut beschrieben.
Vg Exel84
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zu Aufgabe 4:
>
> hier mein Rechenweg:
>
> gegeben:
>
> x'= [mm]\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x, x(0)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
>
> 1) Eigenwerte bestimmen: [mm]p(\lambda)=det (A-\lambda[/mm] E):
>
> Ergebnisse davon sind:
>
> = [mm]\lambda_{1}=-1; \lambda_{2}=1; \lambda_{3}=-5[/mm]
>
> 2) Eigenvektoren: [mm](A-\lambda[/mm] E)x=0
>
> Ergebnisse davon sind (mit Gauß-Verfahren):
>
> für [mm]\lambda_{1}=-1:[/mm]
>
> = [mm]x_{1}=\vektor{ x_{1}\\ 0 \\ 0}[/mm]
Also ist [mm] v_1:=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert -1
>
> für [mm]\lambda_{2}=1:[/mm]
>
> = [mm]x_{2}=\vektor{\bruch{1}{10}x_{3}\\ -\bruch{1}{5}x_{3} \\ x_{3}}[/mm]
Also ist [mm] v_2:=\vektor{ 1 \\ -2 \\ 10} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1
>
> für [mm]\lambda_{2}=-5:[/mm]
>
> = [mm]x_{3}=\vektor{\bruch{1}{4}x_{3}\\ x_{3} \\ x_{3}}[/mm]
Also ist [mm] v_3:=\vektor{ 1 \\ 4 \\ 4} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert -5
>
> Wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen?
Ein Fundamentaksystem der DGL ist somit
[mm] $\{e^{-t}v_1, e^tv_2, e^{-5t}v_3\}$
[/mm]
> Was muss ich denn
> mit gegebenen x(0) machen?
Die allgemeine Lösung der DGL lautet:
[mm] $x(t)=c_1e^{-t}v_1+c_2 e^tv_2+c_3 e^{-5t}v_3$
[/mm]
Bestimme nun [mm] c_1,c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] so, dass
[mm] x(0)=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm]
ist
FRED
> Bei uns im Skript steht das
> nicht so gut beschrieben.
>
> Vg Exel84
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
wie kommst du auf die Werte für [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}?
[/mm]
Vg Exel84
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> wie kommst du auf die Werte für [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}?[/mm]
Nehmen wir z.B. den Eigenwert 1. Du hast ausgerechnet, dass für jedes [mm] x_3 \ne [/mm] 0 der Vektor
$ [mm] \vektor{\bruch{1}{10}x_{3}\\ -\bruch{1}{5}x_{3} \\ x_{3}} [/mm] $
ein zugeh. Eigenvektor ist. Für ein Fundamentalsystem benötigst Du nur einen von diesen. Du kannst Dir das Leben schwer machen und z.B. [mm] x_3= 0,000898712345*6^{1,432} [/mm] wählen. Schreib mal hin, welchen Eigenvektor Du dann bekommst.
Ich mache mir das Leben aber so einfach , wie es geht und wähle [mm] x_3=10.
[/mm]
Schreib diesen Eigenvektor mal hin.
Siehst Du den winzig und klitzekleinen Unterschied ?
FRED der Lebenskünstler.
>
> Vg Exel84
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ich bin jetzt dran die 3 Konstanten zu berechnen. Macht man das einfach durch einsetzen des Eigenvektors und dann auflösen nach der jeweiligen Konstante? Oder wie mache ich das am besten?
Vg Exel84
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Fr 28.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das stand da doch schon du schreibst x(0) hin und setzt es gleich dem gegebenen Anfangswert.
was meinst du mit "dem Eigenvektor"?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ich hab das jetzt so gerechnet:
x(t)= [mm] C_{1}e^{-t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+C_{2}e^{t}*\vektor{1 \\ -2 \\ 10}+C_{3}e^{-5t}*\vektor{1 \\ 4 \\ 4}
[/mm]
Anfangsbestand.: [mm] x(0)=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
= [mm] C_{1}=0
[/mm]
= [mm] C_{2}-2*C_{2}+10*C_{2}=0
[/mm]
= [mm] 9*C_{2}=0
[/mm]
= [mm] C_{2}=0
[/mm]
[mm] =C_{3}+4*C_{3}+4*C_{3}=1
[/mm]
[mm] =9*C_{3}=1
[/mm]
[mm] =C_{3}=\bruch{1}{9}
[/mm]
Stimmt das so??
Vg Exel84
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Sa 29.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch durch einsetzen feststellen, dass das falsch ist- wie kommst du denn etwa direkt auf [mm] C_1=0 [/mm] du solltest
erstmal ein Gleichungssystem hinschreiben. 1. Gleichung in deinen Gleichungen kommt immer nur eines der C vor, wie kommt das denn, da werden 3 Vektoren addiert , einer kommt raus.
[mm] C_1+C_2+C_3=0
[/mm]
usw. dann zeige wie du dieses einfache System löst.
Gruß leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
ja stimmt sorry, mein Fehler.
ich habe es jetzt so gerechnet:
x(t)= [mm] C_{1}*e^{-t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] C_{2}*e^{t}*\vektor{1 \\ -2 \\ 10} [/mm] + [mm] C_{3}*e^{-5t}*\vektor{1 \\ 4 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
= [mm] \vektor{C_{1}*e^{-t} \\ 0 \\ 0}+ \vektor{C_{2}*e^{t} \\ -2*C_{2}*e^{t} \\ 10*C_{2}*e^{t}}+ \vektor{C_{3}*e^{-5t} \\ 4*C_{3}*e^{-5t} \\ 4*C_{3}*e^{-5t}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
I: [mm] C_{1}*e^{-t}+ C_{2}*e^{t}+ C_{3}*e^{-5t} [/mm] = 0
II: [mm] -2*C_{2}*e^{t}+ 4*C_{3}*e^{-5t} [/mm] = 0
III: [mm] 10*C_{2}*e^{t}+ 4*C_{3}*e^{-5t} [/mm] = 1
II:
= [mm] 4*C_{3}*e^{-5t} [/mm] = [mm] 2*C_{2}*e^{t} [/mm] /:2
= [mm] 2*C_{3}*e^{-5t} [/mm] = [mm] C_{2}*e^{t}
[/mm]
eingesetzt in Gleichung III: (t=0)
[mm] 10*(2*C_{3})+ 4*C_{3} [/mm] = 1
= [mm] 20*C_{3}+ 4*C_{3} [/mm] = 1
= [mm] 24*C_{3} [/mm] = 1
[mm] C_{3}= \bruch{1}{24}
[/mm]
nochmal in III: (t=0)
[mm] 10*C_{2}+ 4*\bruch{1}{24} [/mm] = 1
[mm] 10*C_{2}+ \bruch{1}{6} [/mm] = 1
[mm] C_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
in I: (t=0)
[mm] C_{1}+\bruch{1}{12} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24} [/mm] = 0
[mm] C_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
das müsste jetzt aber so passen. Hab auch die Probe gemacht und das passt.
Vg Exel84
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Sa 29.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich habe es jetzt so gerechnet:
>
> x(t)= [mm]C_{1}*e^{-t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]C_{2}*e^{t}*\vektor{1 \\ -2 \\ 10}[/mm] + [mm]C_{3}*e^{-5t}*\vektor{1 \\ 4 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
so stimmt das nicht, du musst direkt t=0 einsetzen, für [mm] t\ne [/mm] 0 stimmt das ja nicht.
später tust du das ja und hast die [mm] C_i [/mm] richtig berechnet, aber so darf es nicht stehenbleiben.
also direkt t=0 setzen!
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
heisst das, dass ich, da [mm] e^{0} [/mm] eh immer 1 ergibt, das weglassen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Sa 29.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, ob du [mm] e^0 [/mm] oder 1 hinschreibst ist egal, hüchstens um zu zeigen woher die Gleichung kommt ist es vielleicht besser im ersten Anlauf [mm] e^0 [/mm] zu schreiben.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Exel84 |
Ok, vielen vielen Dank für deine Hilfe!!!
Vg Exel84
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