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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 23.10.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Definition: Sei E = vektor v+ R x vektor u1 + R x vektor u2 eine Ebene im R3 sowie vektor x element von R3. vektor x heißt orthogonal zu E, falls gilt:
vektor x * vektor u1 = vektor x * vektor u2 = 0
a) Sei N die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu E sind. Zeigen Sie, dass N eine Ursprungsgerade ist.
b) Seien nun drei Ebenen E(i) und die dazugehörigen Menge N(i) gegeben, i=1,2,3. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
-N1 [mm] \cup [/mm] N2\ cup N3 ist Teilmenge der Ebene
-E1 [mm] \cup [/mm] E2 [mm] \cup [/mm] E3 besteht nicht aus genau einem Punkt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Abend,
ich bin bei meinem ersten Lina Aufgabenzettel endlich bei der letzten Aufgabe angekommen, sitze aber den halben Tag schon an Aufgabe 4 =P
Folgenden Ansatz habe ich, der schon ziemlich banal klingt:
Die Ursprungsgerade sieht wie folgt aus:
(0,0,0) + R * vektor x ,
da vektor x * vektor u1 = vektor x * u2 = 0 ist, ist x element von der Menge N, weil N alle zu E orthogonalen Vektoren beinhaltet. Mit (0,0,0) als Stützvektor und vektor x als Richtungsvektor bilder (0,0,0) + R*vektor x eine Ursprungsgerade.
das kanns aber doch nicht schon gewesen sein?!
meine letzte möglichkeit wäre es das kreuzprodukt zu u1 und u2 zu bilden und aufzuzeigen, dass es noch andere Vektoren neben vektor x gibt, die mit den Spannvektoren der Ebene E multipliziert 0 ergeben. Anschließend hätte ich dann versucht zu schlussfolgern, dass dieser andere Vektor von x linear abhängig sein muss.
Ich bin mir aber ziemlich unsicher weil der Prof in der Übungsstunde meinte, dass man bei der Aufgabe viel abstrakter rangehen sollte.
Als Hinweise hat er mir gegeben, dass ich mit Hilfe von 2 Vektoren (vermutlich vektor x und ner anderen) sowie einem Punkt eine Ebene zu E aufspannen könnte. Ferne meinte er, dass ich einen Widerspruchsbeweis zu führen hätte. Mehr hab ich davon nicht verstanden.
Habt ihr irgendwelche Ratschläge oder Tipps? Ich werd mich später nochmal an Aufgabe b) ransetzen und meine Gedanken dazu posten.
Bitte um rege Beteiligung und Hilfe.
Grüße,
jay.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Di 23.10.2012 | | Autor: | zjay |
ok, kleines statusupdate:
ich habe keine ahnung wie b geht und arbeite nochmal alle aufzeichnungen der letzten woche durch.
hilfe nachwievor erwünscht ;(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zur a)
Ich würde so rangehen:
Es gilt ja [mm] N=\{ x=\vektor{x \\ y \\ z} | xu_1=0 \wedge xu_2=0\}=\{ x=\vektor{x \\ y \\ z} | xu_{1,1}+yu_{1,2}+zu_{1,3}=0 \wedge xu_{2,1}+yu_{2,2}+zu_{2,3}=0\}.
[/mm]
In der rechten Menge hast du ja nun ein Gleichungssystem, dass du lösen könntest. Weil du eine Variable mehr als Gleichungen hast, weißt du, dass du dann eine Lösung mit einem Parameter bekommst [mm] (\Rightarrow [/mm] Gerade). Ferner löst [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] das LGS, daher kannst du den als Stützvektor nehmen. Insgesamt hast du eine Ursprungsgrade erhalten.
Bei deiner Lösung gehst du schon davon aus, dass N eine Ursprungsgerade ist und zeigst, dass das auch stimmig ist. Aber es kann ja sein, dass N noch viel mehr als nur diese Gerade ist. Daher musst du davon ausgehen, nichts über N zu wissen und dann zu zeigen, dass das Ding wirklich nur eine Gerade ist.
Habt ihr schon lineare Abbildungen, Kerne und die Dimensionsformel besprochen? Damit könnte man die Aufgabe auch noch recht leicht lösen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:09 Mi 24.10.2012 | | Autor: | zjay |
Danke. Was du geschrieben hast, hört sich sehr schlüssig an. Ich werde mal probieren das nachzuvollziehen und auf Papier zu bringen.
Aber sag mal, hättest du einen Ansatz für b)? Ich hab da absolut keine Ahnung wie ich da vorgehen soll ...
Ich les beim ersten Punkt in b) nur N1 oder N2 oder N3 ist Teilmenge einer Ebene. Was heißt das?
bedeutet
N1 [mm] \cup [/mm] N2 [mm] \cup [/mm] N3 ist Teilmenge einer Ebene, dass entweder N1, N2 oder N3 Teilmenge einer anderen Ebene als der entsprechenden (E1, E2, E3) ist?
Und mit der zweiten Aussage E1 [mm] \cup [/mm] E2 [mm] \cup [/mm] E3 besteht nicht aus genau einem Punkt kann ich noch weniger anfangen. E1 [mm] \cup [/mm] E2 [mm] \cup [/mm] E3 heißt für mich erstmal die Schnittmenge - sprich ein Schnittpunkt oder eine Schnittgerade. Aber da steht ja, dass E1 [mm] \cup [/mm] E2 [mm] \cup [/mm] E3 nicht aus genau einem Punkt besteht ... heißt das, dass es demzufolge eine Schnittgerade zwischen den Ebenen geben muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zjay,
leider habe ich keine Lösung für b) und kann dir nur beim Verständnis der Aufgabenstellung helfen. Daher lasse ich die Frage nur teilweise beantwortet.
> Ich les beim ersten Punkt in b) nur N1 oder N2 oder N3 ist
> Teilmenge einer Ebene. Was heißt das?
>
> bedeutet
>
> N1 [mm]\cup[/mm] N2 [mm]\cup[/mm] N3 ist Teilmenge einer Ebene, dass entweder
> N1, N2 oder N3 Teilmenge einer anderen Ebene als der
> entsprechenden (E1, E2, E3) ist?
Nein. Das heißt, dass eine weitere Ebene E existiert, so dass N1, N2 und N3 Teilmengen von E sind.
> Und mit der zweiten Aussage E1 [mm]\cup[/mm] E2 [mm]\cup[/mm] E3 besteht
> nicht aus genau einem Punkt kann ich noch weniger anfangen.
> E1 [mm]\cup[/mm] E2 [mm]\cup[/mm] E3 heißt für mich erstmal die
> Schnittmenge
Sicherlich heißt es [mm] $E_1\cap E_2\cap E_3$.
[/mm]
> - sprich ein Schnittpunkt oder eine
> Schnittgerade.
Oder eine Schnittebene (wenn alle drei Ebenen übereinstimmen). Oder die leere Menge (z.B. wenn zwei der drei Ebenen echt parallel sind).
> Aber da steht ja, dass E1 [mm]\cup[/mm] E2 [mm]\cup[/mm] E3
> nicht aus genau einem Punkt besteht ... heißt das, dass es
> demzufolge eine Schnittgerade zwischen den Ebenen geben
> muss?
Oder eine Schnittebene oder die leere Menge.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mi 24.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Definition: Sei E = vektor v+ R x vektor u1 + R x vektor
> u2 eine Ebene im R3 sowie vektor x element von R3. vektor x
> heißt orthogonal zu E, falls gilt:
>
> vektor x * vektor u1 = vektor x * vektor u2 = 0
>
> a) Sei N die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu E
> sind. Zeigen Sie, dass N eine Ursprungsgerade ist.
Hallo,
die Aufgabe a) ist völliger Schwachsinn.
Zu jedem Vektor gibt es unendlich viele Repräsentanten. Diese Vektorpfeile kann ich auf eine Ursprungsgerade legen oder auch "daneben".
Oder sollen die lapidar als "Vektoren" bezeichneten Dinger in Wirklichkeit Ortsvektoren sein?
Gruß Abakus
>
> b) Seien nun drei Ebenen E(i) und die dazugehörigen Menge
> N(i) gegeben, i=1,2,3. Zeigen Sie, dass die folgenden
> Aussagen äquivalent sind:
>
> -N1 [mm]\cup[/mm] N2\ cup N3 ist Teilmenge der Ebene
> -E1 [mm]\cup[/mm] E2 [mm]\cup[/mm] E3 besteht nicht aus genau einem Punkt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Abend,
>
> ich bin bei meinem ersten Lina Aufgabenzettel endlich bei
> der letzten Aufgabe angekommen, sitze aber den halben Tag
> schon an Aufgabe 4 =P
>
> Folgenden Ansatz habe ich, der schon ziemlich banal
> klingt:
>
> Die Ursprungsgerade sieht wie folgt aus:
>
> (0,0,0) + R * vektor x ,
>
> da vektor x * vektor u1 = vektor x * u2 = 0 ist, ist x
> element von der Menge N, weil N alle zu E orthogonalen
> Vektoren beinhaltet. Mit (0,0,0) als Stützvektor und
> vektor x als Richtungsvektor bilder (0,0,0) + R*vektor x
> eine Ursprungsgerade.
>
> das kanns aber doch nicht schon gewesen sein?!
>
> meine letzte möglichkeit wäre es das kreuzprodukt zu u1
> und u2 zu bilden und aufzuzeigen, dass es noch andere
> Vektoren neben vektor x gibt, die mit den Spannvektoren der
> Ebene E multipliziert 0 ergeben. Anschließend hätte ich
> dann versucht zu schlussfolgern, dass dieser andere Vektor
> von x linear abhängig sein muss.
>
> Ich bin mir aber ziemlich unsicher weil der Prof in der
> Übungsstunde meinte, dass man bei der Aufgabe viel
> abstrakter rangehen sollte.
> Als Hinweise hat er mir gegeben, dass ich mit Hilfe von 2
> Vektoren (vermutlich vektor x und ner anderen) sowie einem
> Punkt eine Ebene zu E aufspannen könnte. Ferne meinte er,
> dass ich einen Widerspruchsbeweis zu führen hätte. Mehr
> hab ich davon nicht verstanden.
>
> Habt ihr irgendwelche Ratschläge oder Tipps? Ich werd mich
> später nochmal an Aufgabe b) ransetzen und meine Gedanken
> dazu posten.
>
>
> Bitte um rege Beteiligung und Hilfe.
>
> Grüße,
>
> jay.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mi 24.10.2012 | | Autor: | zjay |
hier der upload von meinem aufgabenzettel, falls ich die aufgabe falsch wiedergegeben habe:
http://s14.directupload.net/file/d/3053/g73lece3_jpg.htm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mi 24.10.2012 | | Autor: | zjay |
Diese Frage ist weiterhin ungeklärt.
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Hallo zjay,
da hast Du in der Tat sinnentstellend abgeschrieben.
> Definition: Sei E = vektor v+ R x vektor u1 + R x vektor
> u2 eine Ebene im R3 sowie vektor x element von R3. vektor x
> heißt orthogonal zu E, falls gilt:
>
> vektor x * vektor u1 = vektor x * vektor u2 = 0
>
> a) Sei N die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu E
> sind. Zeigen Sie, dass N eine Ursprungsgerade ist.
>
> b) Seien nun drei Ebenen E(i) und die dazugehörigen Menge
> N(i) gegeben, i=1,2,3. Zeigen Sie, dass die folgenden
> Aussagen äquivalent sind:
>
> -N1 [mm]\cup[/mm] N2\ cup N3 ist Teilmenge der Ebene
> -E1 [mm]\cup[/mm] E2 [mm]\cup[/mm] E3 besteht nicht aus genau einem Punkt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Aussage 1: [mm] N_1\cup N_2\cup N_3 [/mm] ist Teilmenge einer Ebene.
Aussage 2: [mm] E_1\blue{\cap}E_2\blue{\cap}E_3 [/mm] besteht nicht aus genau einem Punkt.
Zu zeigen ist: [mm] \text{Aussage 1}\Leftrightarrow\text{Aussage 2}
[/mm]
Interpretieren wir erst einmal die Aussagen und nehmen dazu jeweils ein [mm] \vec{n_i}\in N_i [/mm] als Repräsentanten der Mengen [mm] N_i.
[/mm]
Aussage 1 besagt nun, dass die drei Normalenvektoren [mm] \vec{n_1}, \vec{n_2}, \vec{n_3} [/mm] in einer Ebene liegen, also linear abhängig sind.
Aussage 2 ist einfach: die drei Ebenen schneiden sich nicht nur in einem Punkt (was ja sozusagen der "Normalfall" wäre).
Ich mache Dir mal einen Fall vor:
Sei [mm] \vec{n_1}\nparallel\vec{n_2}\Rightarrow\exists g:E_1\cap E_2
[/mm]
Der Richtungsvektor [mm] \vec{r_g} [/mm] von g erfüllt [mm] \vec{n_1}\vec{r_g}=\vec{n_2}\vec{r_g}=0.
[/mm]
Sei nun [mm] \vec{n_3}=a\vec{n_1}+b\vec{n_2}. [/mm]
Zu zeigen ist: [mm] \vec{r_g}\perp\vec{n_3}\Leftrightarrow\vec{n_3}\vec{r_g}=0
[/mm]
[mm] \vec{n_3}\vec{r_g}=(a\vec{n_1}+b\vec{n_2})\vec{r_g}=a(\vec{n_1}\vec{r_g})+b(\vec{n_2}\vec{r_g})=a*0+b*0=0
[/mm]
Die Interpretation dieses Nachweises überlasse ich jetzt mal Dir. Was ist damit gezeigt, was ist noch zu zeigen?
Denk dabei sowohl über mögliche Fälle nach als auch über die Frage "Hin- und Rückrichtung".
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Do 25.10.2012 | | Autor: | zjay |
Danke für den Ansatz. Leider habe ich den Zettel heute um 12 schon abgegeben und 4b) offen gelassen. Wenn ich die Zeit finde, werde ich mich mal ransetzen und deinen Ansatz genauer durchlesen und probieren nachzuvollziehen. Jetzt muss ich aber erstmal an meinem Analysis Arbeitszettel tüfteln.
Danke,
zjay
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