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| Aufgabe | | Zeigen Sie, daß B={(1,2,4),(2,4,1),(4,2,1)} eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist. |
Liebe Matheprofis :)!
Ich hab schon mein Skriptum durchstöbert, aber irgendwie steht da so wenig drinnen :( Najo würde gerne von euch einen kleinen Schub in die Materie bekommen.
Wie würdet ihr dieses BSP lösen?
PS: Was ist [mm] \lambda [/mm] ? Sowas wie [mm] 3x^2 [/mm] (der 3er ist Lambda also das k*x bzw. einfach das was vor dem x steht ;P?)
und was ist eine Basis? (in verständlichen Worten ;) )
MFG
euer Matheanfänger ;D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten tag.
Also zuerst mal was zu deiner letzten Frage. Die Basis eines Vektorraumes ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h ein erzeugendensystem mit möglichst wenigen elementen. Dabei muss für die Basis außerdem gelten, dass alle Vektoren die zur Basis gehören sollen linear unabhängig sein müssen. Sind also gegebene Vektoren ein Erzeugendensystem des Vektorraumes und linear unabhängig, dann sind sie eine Basis von Vektorraum.
Um das mal auf das Beispiel anzuwenden. Also müsste man jetzt zuerst nachrechnen, ob die drei vektoren linear unabhängig sind und ob sie ein erzeugendensystem des [mm] R^3 [/mm] bilden. Das ist ziemlich anstrengend und aufwendig und weil mathematiker faule menschen sind :) kann man das auch einfacher feststellen. Es gilt folgendes Lemma:
Die Dimension eines Vektorraumes sei [mm] n<\infty. [/mm] Enthält eine Teilmenge L des Vektorraumes genau n elemente und sind diese Vektoren l.u. dann ist L eine Basis von V.
Also einfach prüfen ob die Menge l.u. ist, dann das mit dem n als Dimension überprüfen.
Und das mit dem Lamda bitte mal in einen Kontext bringen danke
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Ok vielen Dank für die Antwort:) ... aber was ist genau ein Erzeugendensystem? Im Wiki stehts für mich irgendwie unverständlich drinnen und die ganzen Zeichen verwirren mich :(
zum Lambda: zB Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda \vec{b}, \lambda \in \IR
[/mm]
oder zB Ebene: [mm] \varepsilon: \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda \vec{b} [/mm] + [mm] \mu \vec{c}
[/mm]
Bei der Ebene (was ist das überhaupt ? :P) versteh ich nicht was Mü und was Lambda sind ... das steht so im Skriptum ohne irgendwas öÖ
MFG euer Anfänger
PS: was heißt bei dir l.u. :P sry ich bin zu dumm^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Di 02.01.2007 | | Autor: | Centaur |
Nur kurz eine Sache, die sich schnell beantworten lässt: "l.u." soll linear unabhängig heißen.
Grüße, Chris
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Also ein erzeugendensystem eine Teilmenge T eines Vektorraumes V. Mit den Vektoren dieser Teilmenge lässt sich jeder Vektor aus V als Linearkombination darstellen. Das bezeichnet man als erzeugendensystem.
[mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] sind koeffzienten von den Vektoren die eine Basis aufspannen. Für jeden Vektor der in der ebene liegen will, muss es ein genau bestimmtes [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] geben, d,h, jeder Vektor muss sich als linearkombination der drei gegebenen Vektoren schreiben lassen mit eindeutigen Koeffizienten.
Ich hoffe ich konnte das anschaulich erklären
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Danke für die Antwort, irgendwie kommt einerseits das Verständnis langsam, andrerseits kann ich mir nicht wirklich vorstellen wie das ganze da aussieht bzw. funktioniert...
MFG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 04.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Di 02.01.2007 | | Autor: | Elph |
Hallo und ein frohes neues Jahr!
War deine Frage jetzt soweit beantwortet?
Ich schreib einfach mal meinen Lösungsvorschlag hin:
Wenn bei uns im Mathebuch so eine Aufgabe steht, müssen wir eigentlich nur prüfen, ob die Tripel linear unabhängig sind. dazu müssen wir nur das folgende LGS lösen:
I) [mm] 1r_1 [/mm] + [mm] 2r_2 [/mm] + [mm] 4r_3 [/mm] = 0
II) [mm] 2r_1 [/mm] + [mm] 4r_2 [/mm] + [mm] 1r_3 [/mm] = 0
III) [mm] 4r_1 [/mm] + [mm] 2r_2 [/mm] + [mm] 1r_3 [/mm] = 0
Wenn es nur die eine Lösung [mm] r_1 [/mm] = [mm] r_2 [/mm] = [mm] r_3 [/mm] = 0 gibt, dann sind die Tripel unabhängig.
Ich hoffe, diese Antwort hilft dir weiter.
Gruß Elph
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ajo, schönes neues Jahr euch allen noch :)
@Elph: Wie beweise ich, dass r1 = r2 = r3 = 0 ist? :P
MFG +thx
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Hallo,
du löst das Gleichungssystem z. B. mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren, das System ergibt folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
jetzt 2*Zeile 2 minus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 7 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
jetzt 4*Zeile 1 minus Zeile 4
[mm] \pmat{ 0 & 7 & 15 & 0 \\ 0 & 7 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
jetzt Zeile 1 minus Zeile 2
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & 7 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 1 & 0}
[/mm]
aus der 1. Zeile kannst du bilden [mm] 12*r_3=o, [/mm] also [mm] r_3=0, [/mm] mache dann damit in der zweiten und dritten zeile weiter,
Steffi
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