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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Do 25.11.2004 | | Autor: | aneta |
Hallo mal wieder,
ich sitze erneut an einer Aufgabe, zu der mir nix mehr einfällt. Da ihr mir letztes Mal super geholfen habt, versuche ich mein Glück erneut:
Sei X eine Menge , ~ eine Relation auf X. Angenommen, es gilt x~x für alle x,y [mm] \in [/mm] X mit x~y gilt auch y~x. Definieren Sie eine neue Relation ~' auf X, für die x~'y genau dann gilt, wenn es eine natürliche Zahl k und Elemente
x ~ [mm] z_{1}, z_{1} [/mm] ~ [mm] z_{2}, z_{2} [/mm] ~ [mm] z_{3}, [/mm] ... , [mm] z_{k-1} [/mm] ~ [mm] z_{k}, z_{k} [/mm] ~ y.
Zeigen Sie dass ~' eine Äquivalenzrelation ist.
Danke schön!
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Hallo!
Diese Konstruktion nennt sich die "transitive Huelle" der Relation.
Also, vielleicht mal einen kleinen Ansatz: mach Dir zunaechst klar, dass wenn fuer Elemente $x, y [mm] \in [/mm] X$ gilt: $x [mm] \sim [/mm] y$, dass dann folgt: $x [mm] \sim' [/mm] y$.
Damit ist [mm] $\sim'$ [/mm] eine Fortsetzung der Relation [mm] $\sim$ [/mm] und insbesondere auch reflexiv und symmetrisch - und das sind doch schon mal zwei der 3 zu zeigenden Eigenschaften einer Aequivalenzrelation!
Bleibt die Transitivitaet... schaffst Du es, die aus der Definition von [mm] $\sim'$ [/mm] zu folgern? Nimm Dir $x,y,z [mm] \in [/mm] X$ her mit $x [mm] \sim' [/mm] y$ und $y [mm] \sim' [/mm] z$... dann musst Du zeigen, dass $x [mm] \sim' [/mm] z$ gilt...
Viel Erfolg!
Lars
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