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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Sa 20.11.2004 | | Autor: | aneta |
Hallo,
ich sitze gerade über einer Aufgabe und komme nicht voran.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Sei V ein Vektorraum, φ:V -> V ein Endomorphismus, und n eine natürlische Zahl. Angenommen, es gilt [mm] v\not=0;, φ(v)\not=0 [/mm] ;...;, [mm] φ^n(v)\not=0 [/mm] aber , φ;^n+1(v)=0. Zeigen Sie, dass dann die Vektoren v;, φ(v) ;...;, φ^n(v) linear unabhängig sind.
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Hi!
Du musst zeigen:
[mm] \lambda_1v+\lambda_2\phi(v)+ [/mm] ... [mm] +\lambda_{n+1}\phi(v)^n=0 \Rightarrow \lambda_j=0, [/mm] j=1,...,n+1
Wenn du auf beiden Seiten [mm] \phi(v)^{n} [/mm] multiplizierst erhälst du
[mm] \lambda_1v \phi(v)^{n}=0 \Rightarrow \lambda_1=0 [/mm] (da [mm] v\not=0 [/mm] und [mm] \phi(v)^n\not=0)
[/mm]
Also must du nur noch zeigen:
[mm] \lambda_2\phi(v)+ [/mm] ... [mm] +\lambda_{n+1}\phi(v)^n=0 \Rightarrow \lambda_j=0, [/mm] j=2,...,n+1
Wenn du diese Gleichung mit [mm] \phi(v)^{n-1} [/mm] multiplizierst, erhälst du [mm] \lambda_2=0
[/mm]
usw...
mfg Verena
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