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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 So 22.04.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
da ich heir so gut zurechtgekommen bin. Hoffe ich, dass ihr mir auch hier weiterhelfen könnt???
Meine Überlegungen/Fragen:
zu1:
Hier weiß ich leider garnicht bescheid, liegt aber eher daran,dass ich nicht weiß wie ich die Sum(A*B) mit summerzeichen schreiben kann...
zu 2:
Also meiner Ansicht nach stimmt diese Aussage.
Habe aber leider nur ein Beispiel im [mm] \IR^2:
[/mm]
Sei b das Standardskalarprokut und [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} [/mm] die Darstellungsmatrix bezgl einer geeeigneten Basis. dann gibt det [mm] A_b=-1 [/mm] also [mm] \not= [/mm] 0 und daher nicht ausgeartet. aber nicht positiv definit da [mm] detA_b \not> [/mm] 0.
Reicht das so, oder muss ich das allgemein zeigen, wenn ja wie??
zu 3.:
offensichtlich ist b symmetrisch, und NICHT positiv definit, denn [mm] b(p,p)=p^2(0) [/mm] muss nicht immer größer 0 sein [mm] \forall [/mm] p [mm] \in \IR[x] [/mm] -{0}, denn sei z.B. [mm] p(x)=x^2+x [/mm] so wäre [mm] b(p,p)=(x^2+x)^2=x^4+2x^3+x^2=0 [/mm] für x=0 obwohl p nicht das Nullpolynom beschreibt...richtig??
aber wie zeige ich jetzt dass b nicht ausgeartet ist, bzw. ausgeartet ist??
zu 4.:
denke das b symmetrisch ist, denn ich meine zu wissen, dass gilt:
Spur(AB)=Spur(BA)
ach glaube ich dass die Einheitsmatrix ein anisotroper Vektor ist, denn Spur(Einheitsmatrix * Einheitsmatrix)=Spur (Einheitsmatrix)>0
Aber wie überprüfe ich hier positive definitheit und das Radikal??die Difintionen kenne ich, aber leider weiß ich sie hier nicht drauf anzuwenden...:-(
zu5.:
weiß dass aussage c stimmt...bei allem anderen bin ich mir unsicher & hoffe da auf eure Hilfe.
Hoffe ihr könnt mir schnell bei meinen Probleme Helfen,
grüße, die kittie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mo 23.04.2007 | | Autor: | kittie |
Hallo zusammen,
ich bins nochmal....schade, dass sich bis jetzt niemand gefunden hat, der mir hier weiterhelfen kann...
Wäre prima wenn sich jemand findet...stecke hier nämlich total fest und komme sonst nicht weiter!!!
"kleiner" Hilferuf!!
liebe grüße, die kittie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Mo 23.04.2007 | | Autor: | kittie |
hallo Bastiane!!!
Werde mir deinen Rat fürs nächste mal merken....
aber vielleicht kannst du mir ja was helfen....muss ja auch nicht immer zu allem was sein, aber mit ein wenig wäre mir schon sehr gehofen!!!
viele Grüße, die kittie
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1 a) Nimm [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 0 }\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 3 & 0 \\ 3 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 0 }\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 0 }=\pmat{ 3 & 6 \\ 0 & 0}
[/mm]
b(A,B)=3+0+3+0=6, b(B,A)=3+6+0+0=9, also nicht symmetrisch.
1 b) Nimm [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
also b(A,B)=0, obwohl A und B [mm] \ne [/mm] 0 sind, somit falsche Aussage
1 c) Nimm [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 0 }\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] b(A,A)=1-2+0+0=-1\le [/mm] 0, also auch falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:59 Di 24.04.2007 | | Autor: | kittie |
Hallo HJKweseleit!
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
ok habe ich verstanden, die gegenbeispiele sind ja auch eindeutig. nur ein frage Habe ich bzgl der nicht ausgeartetheit:
diese ist ja definiert wenn [mm] V^\perp^={v \in V| =0 \forall w \in V}=0 [/mm] ist. Ab er heißt das nicht dass die Vektoren(hier halt Matrizen) die im Radikal sitzen mit jedem Vektor(hier Matrix) aus V 0 ergeben müssen???
Viele Grüße, die kittie
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Hallo kittie,
das hat HJK ja gemacht,
er hat sich irgendeinen Vektor w geschnappr - hier [mm] w=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
und sich einen Vektor [mm] v\ne [/mm] 0 geschnappt , hier [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Und für v,w gilt b(v,w)=0, also ist [mm] v\ne 0\in V\perp
[/mm]
Also b ausgeartet
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Do 03.05.2007 | | Autor: | artin |
gut! note 1, setzen.
lieben gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Do 03.05.2007 | | Autor: | artin |
Du Vogel, Nicht-Ausgeartetheit heißt sicherlich nicht, dass man zwei Elemente findet, so dass deren Produkt = 0 ist. Herzlichen Glückwunsch, dass du Leuten Mathe beibringen darfst!
Gruß
Emil Artin
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Hallo Emil Artin,
wie würde denn deiner Meinung nach eine gute Lösung lauten
mfg
Adamantan
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Hallo Adamantan,
der Meister Unfehlbar, der sich nie irrt, hat Recht - auch wenn sein Tonfall nicht sondelich angebracht ist.
Die Bilinearform ist tatsächlich ausgeartet, ich hatte nur das Gegenbsp nicht gesehen,
Also nimm wieder [mm] V=M_2(\IR)
[/mm]
Dann ist neben der Nullmatrix auch [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] im Radikal von V, denn für eine beliebige Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] ist
[mm] b\left(\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 },\pmat{ a & b \\ c & d }\right)= [/mm] (a-c)+(b-d)+(-a+c)+(-b+d)=0
Wie gesagt, das hatte ich übersehen - sorry
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Di 24.04.2007 | | Autor: | Mitch |
hey!
also zu 4)
a) deine Überlegung ist richtig Spur(AB) = Spur (BA), somit symmetrisch!
b) falsch! nehme matrizen [mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]. Spur des Produktes ist =0, obwohl beide Matrizen ungleich 0
c) falsch! wähle matrizen [mm] \begin{pmatrix}
1 & -3 \\
1 & 1
\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}
1 & -3 \\
1 & 1
\end{pmatrix} [/mm]. Spur des Produktes ist kleiner Null, somit nicht positiv definit
d) Aussage und deine Überlegung richtig!!
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Zu Aufgabe 2 habe ich folgende Idee: Bilde das Produkt [mm] AB^{T} [/mm] und addiere alle Elemente des Ergebnisses, ändere dann das Vorzeichen.
Wegen [mm] BA^{T}= (AB^{T})^{T} [/mm] ist zwar diese Verknüpfung nicht kommutativ, die beiden Ergebnisse haben aber die selben Elemente, da das eine Ergebnis die Transponierte Matrix des anderen ist. Damit wird auch die o.a. Summe gleich, und bezüglich der Bilinearform ist das ganze kommutativ bzw. symmetrisch.
Bildet man nun [mm] AA^{T}, [/mm] so erhält man die Summe aller Elemente aus A zum Quadrat, also nur dann 0, wenn A=0 ist. Durch das anschließende -Zeichen wird der Wert dann negativ, so dass die Bilinearform nicht positiv definit ist.
Linearität usw. müsstest du noch nachweisen.
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