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| Aufgabe | Es sei f : R³ [mm] \to [/mm] R³ eine lineare Abbildung, welche
f [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ 0 } [/mm] := [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ -2 }, [/mm] f [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ -2 } [/mm] := [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 } [/mm] und [mm] f\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] := [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ -2 }
[/mm]
erfülle.
Desweiteren sei [mm] (e_{1},e_{2},e_{3}) [/mm] mit
[mm] e_{1}:=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }, e_{2}:=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }, e_{3}:=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
die Standardbasis des R³.
a) Wie viele lineare Abbildungen f existieren, welche die obigen Forderungen erfüllen? Begünden Sie Ihre Antwort!
b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung eines möglichen f bezüglich der Standardbasis des R³
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Leider habe ich überhaupt noch keinen Plan wie ich hier ansetzen soll. Muss ich hier zunächst Additivität und Homogenität zeigen? Brauche ich ein Nullelement? oder muss ich hier nur zeigen, dass ich die einzelnen Abbildung mit [mm] e_{1} [/mm] bis [mm] e_{3} [/mm] darstellen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei f : R³ [mm]\to[/mm] R³ eine lineare Abbildung, welche
> f [mm]\pmat{ 1 \\ -1 \\ 0 }[/mm] := [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ -2 },[/mm] f [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ -2 }[/mm]
> := [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ -2 }[/mm] und [mm]f\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] :=
> [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ -2 }[/mm]
> erfülle.
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> Desweiteren sei [mm](e_{1},e_{2},e_{3})[/mm] mit
>
> [mm]e_{1}:=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }, e_{2}:=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }, e_{3}:=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> die Standardbasis des R³.
>
> a) Wie viele lineare Abbildungen f existieren, welche die
> obigen Forderungen erfüllen? Begünden Sie Ihre Antwort!
>
> b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung eines möglichen f
> bezüglich der Standardbasis des R³
>
> Leider habe ich überhaupt noch keinen Plan wie ich hier
> ansetzen soll. Muss ich hier zunächst Additivität und
> Homogenität zeigen? Brauche ich ein Nullelement? oder muss
> ich hier nur zeigen, dass ich die einzelnen Abbildung mit
> [mm]e_{1}[/mm] bis [mm]e_{3}[/mm] darstellen kann?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß f linear ist, ist vorausgesetzt, das ist nicht zu zeigen.
Hier sind drei Funktionswerte von f angegeben, und Du sollst überlegen, wieviele lineare Abbildungen Du definieren kannst, bei denen diese Funktionswerte vorkommen.
Die Frage kannst Du schnell beantworten, wenn Du schon etwas darüber weißt, woduch lineare Abbildungen eindeutig bestimmt sind. Kram mal ein bißchen in Deinen Aufzeichnungen.
Für Aufgabe b) überlege Dir, wie Du [mm] e_1, e_2 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] also Linearkombination v. [mm]\pmat{ 1 \\ -1 \\ 0 }[/mm], [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ -2 }[/mm] und [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] schreiben kannst.
Mit diesem Wissen kannst Du unter Ausnutzung der Linearität die Funktionswerte berechnen. Die gehören dann in die Spaltn der Darstellungsmatrix.
Gruß v. Angela
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