Lineare Abhängigkeit bei Polyn < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei P(3) der Vektorraum der reellen Polynome mit maximalen Grad 3. PrÄufen Sie, ob
p1(x) = x³ +x² -x +2
p2(x) = x² + x -1
p3(x) = x³ - x² + x + 1
p4(x) = x² + 1
Prüfen Sie ob diese linearabhänig bzw. unabhängig sind. |
Meine Frage ist jetzt folgende. (ist wohl ne blöde Frage aber ich bin grad etwas verwirrt.) Wie ich nachweise ob diese linearunabhängig bzw. abhängig sind ist klar. Die Frag hier ist jetzt wie ich mein LGS aufstelle.
Wenn ich z.b. 3 Vektoren habe
u1 = [mm] \vektor{x1 \\ y1 \\ z1}
[/mm]
u2 = [mm] \vektor{x2 \\ y2 \\ z2}
[/mm]
u3 = [mm] \vektor{x3 \\ y3 \\ z3}
[/mm]
Kann ich meine Vektoren ja eigentlich einfach so in mein LGS schreiben :
[mm] \pmat{ x1 & x2 & x3 \\ y1 & y2 & y3 \\ z1 & z2 & z3 }
[/mm]
Bei den Polynomen fasse ich doch jetzt meine x³ , x² , x .... jeweils zusammen also in meinem Beispiel dann
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 1 }
[/mm]
??
Lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 30.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Sei P(3) der Vektorraum der reellen Polynome mit maximalen
> Grad 3. PrÄufen Sie, ob
> p1(x) = x³ +x² -x +2
> p2(x) = x² + x -1
> p3(x) = x³ - x² + x + 1
> p4(x) = x² + 1
> Prüfen Sie ob diese linearabhänig bzw. unabhängig sind.
> Meine Frage ist jetzt folgende. (ist wohl ne blöde Frage
> aber ich bin grad etwas verwirrt.) Wie ich nachweise ob
> diese linearunabhängig bzw. abhängig sind ist klar. Die
> Frag hier ist jetzt wie ich mein LGS aufstelle.
>
> Wenn ich z.b. 3 Vektoren habe
> u1 = [mm]\vektor{x1 \\ y1 \\ z1}[/mm]
> u2 = [mm]\vektor{x2 \\ y2 \\ z2}[/mm]
>
> u3 = [mm]\vektor{x3 \\ y3 \\ z3}[/mm]
>
> Kann ich meine Vektoren ja eigentlich einfach so in mein
> LGS schreiben :
> [mm]\pmat{ x1 & x2 & x3 \\ y1 & y2 & y3 \\ z1 & z2 & z3 }[/mm]
>
> Bei den Polynomen fasse ich doch jetzt meine x³ , x² , x
> .... jeweils zusammen also in meinem Beispiel dann
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> ??
Das stimmt. Das ist aber noch kein LGS, sondern einfach nur eine Matrix. Wenn du diese mit einem Vektor von Parametern a, b, c, d multiplizierst und gleich Null setzst, dann hast du ein LGS. Aber ansonsten ist dein Ansatz völlig richtig.
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Marry2605 |
danke für die schnelle Antwort :)
Und ähm ja, ich hab die Null Spalte eben vergessen hinzuschreiben!
Lg
|
|
|
| |
|
Das selbe Prinzip wende ich ja an wenn ich da z.b. einfach nur stehen habe:
v1 = a + b + c + d
v2 = 2a + 2b + c + d
v3 = 5a + b + 2c + 6d
Also auch hier würde ich jetzt
a 2a 5a
b 2b b
etc jeweils in eine Zeile schreiben?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 03.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Beispiel ist mir nicht klar.
als matrix kannst du doch nur reelle Zahlen schreiben. wenn diese a,b.. aber reelle Zahlen sind, sind die [mm] v_i [/mm] doch keine Vektoren, bzw. wieder nur 1-d Vektoren und deshalb eh alle lin. abhängig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Oh entschuldigung!
Ich hab in der eile nur ein paar Beispielwerte hingeschrieben.
Mir geht es eigentlich nur um folgendes:
sagen wir ich habe 2 Vektoren
u1 = 4a - 6b
u2 = a + 9b
Dann würde ich doch in diesem Fall alle a bzw b zusammenfassen in folgendes LGS :
4a + a
-6b + 9b
Bei meinem Beispiel oben mit den Polynomen fasse ich ja auch in einer Zeile alle x³ bzw x² bzw x .... zusammen?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 03.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh noch immer nicht was du mit den 2 Dingern
> u1 = 4a - 6b
> u2 = a + 9b
meinst!
was sollen denn u1 und u2 sein? da du Abh. untersuchen willst doch wohl Vektoren
wenn aber a,b reelle Zahlen sind sind u1 und u2 auch reelle Zahlen
und ein lin. GS aus denen macht keinen Sinn.
das hat sich doch gegenüber deinem letzten post nicht geändert?
> Dann würde ich doch in diesem Fall alle a bzw b
> zusammenfassen in folgendes LGS :
>
> 4a + a
> -6b + 9b
>
> Bei meinem Beispiel oben mit den Polynomen fasse ich ja
> auch in einer Zeile alle x³ bzw x² bzw x .... zusammen?
Bei deinen Polynomen denkst du an die Basis 1, x, [mm] x^2 x^3
[/mm]
die schreibst du als Vektoren, mit [mm] 1:(1,0,0,0)^T x:(0,1,0,0)^T [/mm] usw.
d.h. du schreibst die Koeffizienten des polynoms [mm] a+bx+cx^2+dx^3
[/mm]
als Zahlenquadrupel (oder Vektor) [mm] (a,b,c,d)^T [/mm] Wenn du also von Polynomen zur Basis [mm] 1,x,x^2,x^3 [/mm] sprichst, kannst du sie als solche Vektoren beschreiben.
Gruss leduart
|
|
|
|
