Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | "Wie muss die reele Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?" |
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
[mm] \vektor{a \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ a \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{3a \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
a*r + 3a*t = 0
s*a + t = 0
r*2 + s*3 = 0
Aber wie kann ich da denn nun vorgehen? Wäre für Tipps sehr dankbar.
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Hallo bildung4ever,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> "Wie muss die reele Zahl a gewählt werden, damit die
> Vektoren linear abhängig sind?"
> [Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.]
>
> [mm]\vektor{a \\ 0 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ a \\ 3}[/mm] , [mm]\vektor{3a \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
>
> a*r + 3a*t = 0
> s*a + t = 0
> r*2 + s*3 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Na, du musst dieses Gleichunggsystem mit einem Verfahren deiner Wahl (Additionsverfahren oder was du so kennst) lösen
Wenn es nur die (triviale) Lösung $r=s=t=0$ hat, so sind die 3 Ausgangsvektoren linear unabhängig, gibt es eine Lösung, wo (mindestens) r oder s oder t [mm] \neq [/mm] 0 ist, so sind sie linear abhängig.
Versuche mal, das GS in Abhängigkeit von dem Parameter a zu lösen.
Irgendwo wird dann eine Bedingung an a auftauchen, die über lineare (Un-)Abhängigkeit entscheidet 
(Hab's aber selbst noch nicht nachgerechnet)
Du kannst ja mal probieren, wie weit du kommst, dann sehen wir weiter, ok?
>
> Aber wie kann ich da denn nun vorgehen? Wäre für Tipps sehr
> dankbar.
LG
schachuzipus
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Also gut:
Das habe ich:
[mm] \pmat{ a & 0 & 3a \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 3& 0 }
[/mm]
Wenn ich dann die erste Gleichung (oder was sagt man dazu?) mit zwei multipliziere und davon das "a-fache" der zweiten Gleichung subtrahiere erhalte ich:
4. 0 | -3a | -6a (Diese Gleichung ist meine vierte Gleichung).
5. (3.+4.) 2a | 0 | -6
6. (2-fache der 1. + 5.) 4a | 0 | 0
folgt daraus dann 4a * r = 0
r=0
?
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Hallo nochmal,
> Also gut:
>
> Das habe ich:
> [mm]\pmat{ a & 0 & 3a \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 3& 0 }[/mm]
>
> Wenn ich dann die erste Gleichung (oder was sagt man dazu?)
üblich ist eher Zeile bei solchen Matrixoperationen, aber Gleichung ist auch ok
> mit zwei multipliziere und davon das "a-fache" der zweiten [mm] \red{\text{dritten!!}} [/mm]
> Gleichung subtrahiere erhalte ich:
>
> 4. 0 | -3a | [mm] \red{+}6a [/mm] Achtung: VZ! (Diese Gleichung ist meine vierte
> Gleichung).
> 5. (3.+4.) 2a | 0 | -6 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie genau kommt das zustande?
> 6. (2-fache der 1. + 5.) 4a | 0 | 0
>
> folgt daraus dann 4a * r = 0
> r=0
Angenommen, $4ar=0$ stimmt, dann ist t=0 für alle [mm] a\in \IR [/mm] ne Lösung, klar, aber gibt's denn nicht auch ein [mm] a\in\IR, [/mm] so dass es eine Lösung [mm] t\neq [/mm] 0 gibt?
(Ein Produkt ist genau dann =0, wenn ....)
Aber nochmal zurück zur Rechnung. Schreibe die erste der Umformungen wieder als Matrix:
[mm] $\pmat{ 0 & -3a & 6a \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 3& 0 }$
[/mm]
Das hattest du richtig heraus bekommen
Nun addiere hier mal das 3-fache der zweiten Zeile auf die erste Zeile, das gibt
[mm] $\pmat{ 0 & 0 & 6a+3 \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 3& 0 }$
[/mm]
Nun schaue dir die erste Zeile an, da steht wieder übersetzt in Gleichungssprache:
[mm] $(6a+3)\cdot{}t=0$
[/mm]
ok, t=0 ist offensichtlich immer (also für jedes a) eine Lösung, kannst du aber ein [mm] a\in\IR [/mm] finden, so dass es eine Lösung [mm] t\neq [/mm] 0 gibt?
Denke daran, wann ein Produkt Null ist...
Gruß
schachuzipus
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Also $ [mm] t\neq [/mm] $0 gilt doch für jede Zahl, außer 0, oder?
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Hi,
ja schon, aber du hast doch ein Produkt
[mm] $(6a+3)\cdot{}t=0$
[/mm]
Das ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist
also [mm] $\gdw [/mm] 6a+3=0$ oder $t=0$
An t=0 sind wir nicht interessiert, wir wollen ja eine Lösung mit [mm] t\neq [/mm] 0
Also [mm] $6a+3=0\gdw a=-\frac{1}{2}$
[/mm]
Mit [mm] $a=-\frac{1}{2}$ [/mm] steht dann da [mm] $(6\cdot{}\left(-\frac{1}{2}\right)+3)\cdot{}t=0\cdot{}t=0$ [/mm] für jedes [mm] t\in\IR, [/mm] also auch für zB t=1
Also kannst du im Falle [mm] a=-\frac{1}{2} [/mm] ein [mm] t\neq [/mm] 0, nämlich t=1 (zB. oder t=-4,354467367) wählen, so dass du eine nicht triviale Lösung findest
Mit dem gewählten t berechne noch r und s, dann kannst du r=..., s=..., t=1 angeben also eine ganz konkrete nicht triviale Lösung.
Also hast du lineare Abhängigkeit im Falle [mm] a=-\frac{1}{2}
[/mm]
LG
schachuzipus
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> Mit dem gewählten t berechne noch r und s, dann kannst du
> r=..., s=..., t=1 angeben also eine ganz konkrete nicht
> triviale Lösung.
Das mit dem konkret trivial und konkret nicht trivial höre ich erhlich gesagt zum Ersten mal.
Habe ich es aber richtig verstanden, dass wenn ich [mm] a=-\bruch{1}{2} [/mm] einsetze, t immer 0 ist? Aber wie rechne ich dann damit weiter? Und wie soll ich dann damit r uns s berechnen?
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Hallo,
> > Mit dem gewählten t berechne noch r und s, dann kannst du
> > r=..., s=..., t=1 angeben also eine ganz konkrete nicht
> > triviale Lösung.
>
> Das mit dem konkret trivial und konkret nicht trivial höre
> ich erhlich gesagt zum Ersten mal.
Oh, ich wollte dich nicht verwirren, sorry
Mit konkrete meine ich, dass du ja, um lineare Abhängigkeit zu zeigen, eine Lösung r=..., s=... und t=... finden musst, die das GS erfüllt, wo aber nicht alle drei Variablen r,s und t =0 sind, wo also mindestens eine [mm] \neq [/mm] 0 ist
Das heißt nicht-trivial. Mit trivialer Lösung ist die Lösung r=s=t=0 (also alle 3 Variablen Null) gemeint, ein solches GS, wo auf der rechten Seite 0 steht, bzw der Nullvektor [mm] \vektor{0\\0\\0}, [/mm] hat immer eine triviale Lösung r=s=t=0
(man nennt es homogenes GS)
Wie suchen also eine nicht triviale Lösung
>
> Habe ich es aber richtig verstanden, dass wenn ich
> [mm]a=-\bruch{1}{2}[/mm] einsetze, t immer 0 ist? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Genau andersherum: Wenn [mm] a=-\frac{1}{2} [/mm] ist, dann steht in der letzten Gleichung [mm] $0\cdot{}t=0$
[/mm]
Da kannst du für t nehmen, was du willst, der Ausdruck [mm] 0\cdot{}t [/mm] ist immer 0. Du kannst also insbesondere eine Lösung [mm] t\neq [/mm] 0 nehmen, zB t=1
Das erfüllt die Gleichung, denn [mm] $0\cdot{}1=0$ [/mm] ist offensichtlich wahr
Dann schaue dir die anderen beiden Gleichungen an und setze t=1 ein.
Berechne damit dann r und s.
Das machen wir anhand der umgeformten Matrix von oben, die war:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 6a+3 \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 3& 0 }
[/mm]
Setzen wir [mm] a=-\frac{1}{2} [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 \\ 2 & 3& 0 }
[/mm]
Dann steht in der 2.Zeile: [mm] $-\frac{1}{2}\cdot{}s+1\cdot{}t=0$
[/mm]
Mit unserer Wahl t=1 also [mm] $-\frac{1}{2}\cdot{}s+1=0\Rightarrow [/mm] s=2$
Nun kannst du s=2 in die letzte Gleichung einsetzen und r berechnen
Dann hast du deine nicht triviale konkrete Lösung
> Aber wie rechne
> ich dann damit weiter? Und wie soll ich dann damit r uns s
> berechnen?
LG
schachuzipus
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Sieht die letzte Gleichung so aus?
2r+3*2=0
2r = -6 |:2
r = -3
[Wir hatten im Unterricht von homogen und inhomogen gesprochen.]
Und wie sieht die Lösung aus? Wie muss man diese angeben? Reicht das hier?
[mm] a=-\bruch{1}{2}
[/mm]
t = 1
r = -3
s = 2
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Hallo nochmal,
> Sieht die letzte Gleichung so aus?
> 2r+3*2=0
> 2r = -6 |:2
> r = -3
>
> [Wir hatten im Unterricht von homogen und inhomogen
> gesprochen.]
Das ist gut!
>
> Und wie sieht die Lösung aus? Wie muss man diese angeben?
> Reicht das hier?
> [mm]a=-\bruch{1}{2}[/mm]
> t = 1
> r = -3
> s = 2
>
Jo, das sieht sehr gut aus, noch die Schlussfolgerung, dass die Vektoren damit im Falle [mm] a=-\frac{1}{2} [/mm] (eben aufgrund dieser speziellen nicht trivialen Lösung) also linear abhängig sind und es ist perfekt
Gruß
schachuzipus
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Herzlichen Dank, für deine Geduld und deine Hilfe
[Eigentlich finde ich, dass Mathematik etwas schönes ist, weil man damit sehr viel anstellen kann. Leider fehlt mir aber der Durchblick dafür. Evtl. liegt dies auch an der mangelnden Motivation in unserem Mathe GK.]
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