Lineare Abhaengigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 06.05.2008 | | Autor: | Maaadin |
| Aufgabe | | Wie muss die reelle Zahl a gewaehlt werden, damit die Vektoren linear abhaengig sind? |
So Leute, ich hab mal wieder ein Problem!
Wie die Aufgabenstellung schon sagt, soll ich eine reele Zahl a waehlen, damit der Vektor l.a. ist. Also hier erstmal die Vektoren:
[mm] \vektor{0\\a\\1}, \vektor{a^2\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Noch Parameter davor setzen:
[mm] $r*\vektor{0\\a\\1}+s*\vektor{a^2\\1\\0}+ t*\vektor{0\\0\\1}=0$
[/mm]
Und in eine Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 0 & a^2 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ }
[/mm]
Mein Problem:
Aus der 1. Gleichung sehe ich doch jetzt, dass s=0 ergibt, demnach ist auch t und r=0....
Ich versteh nicht genau, wie ich jetzt eine reele Zahl waehlen soll, damit die Vektoren l.a. sind.
Danke fuer Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Di 06.05.2008 | | Autor: | DaMazen |
Ich würde an so eine aufgabe immer erst einmal durch einige tests rangehen, ist häufig das einfachste um l.a. herzustellen.
Du musst ja nur eine Lsg für a finden, so dass der O-Vektor sich nicht nur trivial darstellen lässt.
Wähle also z.B. a=0
jetzt musst du nur noch gucken ob es für r,s,t eine Lösung gibt, s.d. nicht r=t=s=0 ist.
Es gibt hier unendlichviele Lösungen für r,s,t
z.B.: r=1, s=0, t=-1
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Di 06.05.2008 | | Autor: | Maaadin |
Hmm.... klingt logisch, aber irgendwas versteh ich immernoch so richtig. Und zwar sind wir z.B. bei der davorigen Aufgabe wie folgt vorgegangen:
Vektoren shcon in die Matrix geschrieben:
$ [mm] \pmat{ 1 & 3 & a & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 4 & a & 1 & 0\\ } [/mm] $
Hier haben wir die Gleichungen so 'angepasst', dass wir sie miteinander addieren konnten. In der letzten Matrix stand dann:
$ [mm] \pmat{ 1 & 3 & a & 0 \\ & 1 & 2 & 0\\ & & -6a+25 & 0\\ } [/mm] $
Danach haben wir die letzte Gleichung nach a ausgerechnet und kamen darauf, dass [mm] a=\frac{25}{6} [/mm] ist. Wuerde sowas aehnliches auch mit der o.g. Aufgabe funktionieren?
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Hallo Maaadin,
genau das ist der Weg und nennt sich "Gaußalgorithmus"
Du hast 3 "legale" oder erlaubte Arten von Umformungen:
(1) Vertauschen von zwei Zeilen
(2) Multiplikation einer Zeile mit einer (reellen) Zahl [mm] \neq [/mm] 0 !!
(3) Addition eines beliebigen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
Ziel ist es, wie in deinem Bsp eine "Dreiecksform" hinzubekommen, anhand derer du die Lösung "ablesen" kannst.
Versuche mal, deine Matrix ganz oben in eine solche Dreicksform zu bringen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 06.05.2008 | | Autor: | Maaadin |
So, nach vertauschen der Reihenfolge und Umformung der Gleichungen komme ich auf folgende Dreiecksform:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1+a & 1 & 0 \\ & a & 1 & 0\\ & & a^2 & 0\\ } [/mm] $
Und da kommt die Verwirrung bei mir. Weil bei mir namelich fuer r, s und t immer 0 rauskommt, egal welches a ich nehme. D.h. es ist bei mir immer linear unabhaengig.
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Hallo nochmal,
> So, nach vertauschen der Reihenfolge und Umformung der
> Gleichungen komme ich auf folgende Dreiecksform:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1+a & 1 & 0 \\ & a & 1 & 0\\ & & a^2 & 0\\ }[/mm]
Hmm, das sehe ich nicht so auf Anhieb, bzw. habe was anderes heraus, vllt kannst du mal sagen, welche Schritte du alle gemacht hast (brauchst nicht alles einzutippeln)
>
> Und da kommt die Verwirrung bei mir. Weil bei mir namelich
> fuer r, s und t immer 0 rauskommt, egal welches a ich
> nehme. D.h. es ist bei mir immer linear unabhaengig. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wenn es nur die triviale Lösung r=s=t=0 gibt, so sind die Vektoren linear unabhängig !!
Nebenbei bemerkt: $r=s=t=0$ ist immer eine Lösung eines solchen GS (man nennt es homogen, wenn die "rechte" Seite 0 ist (bzw. der Nullvektor [mm] \vektor{0\\0\\0})
[/mm]
Die Frage ist nun, ob es neben r=s=t=0 noch eine nicht-triviale Lösung gibt, die Vektoren also linear abh. sind...
Mal angenommen, deine Umformungen stimmen und du hast die obige Dreiecksmatrix herausgeschält.
Dann steht doch in der dritten Zeile die Gleichung [mm] $a^2\cdot{}t=0$
[/mm]
Für welches [mm] $a\in\IR$ [/mm] hat diese Gleichung denn eine Lösung [mm] $t\neq [/mm] 0$??
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Di 06.05.2008 | | Autor: | Maaadin |
So, erstmal wie ich vorgegangen bin:
Meine Vektoren heissen ja wie folgt:
$ [mm] \vektor{0\\a\\1}, \vektor{a^2\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1} [/mm] $
Nun hab ich die Reihenfolge etwas veraendert, also jeden Vektor um 1 nach rechts verschoben und in die Matrix-Form geschrieben:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & a^2&0\\ 0 & a & 1 & 0\\1&1&0&0 }
[/mm]
Und dann die 2. Gleichung mit der 3. verrechnet und die Reihenfolge der Gleichungen noch veraendert.
So und nun zu dem $ [mm] a^2\cdot{}t=0 [/mm] $
Das ist ja das Problem. Ich koennte fuer a jede beliebe Zahl einsetzen und t waere trotzdem 0. Ausser ich nehm natuerlich $a=0$. Hmm... a=0....
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Hallo nochmal,
ah so, dann hast du Spaltenvertauschungen gemacht.
Das kannst du natürlich auch machen, musst aber höllisch aufpassen.
Wenn du zB die erste und zweite Spalte vertauscht, ist nachher in der Lösung auch das r und s vertauscht, da musst du nachher dran denken.
Anders bei Zeilenvertausschungen, da vertauscht du nur die Reihenfolge der Gleichungen..
Und jaaa, mit a=0 bist du auf der brandheißen Spur 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Di 06.05.2008 | | Autor: | Maaadin |
Ja gut, wenn a=0 ist, dann ist es ja auf jedne Fall linear unabhaengig =)
Dann wuerde es ja in der 3. Gleichung heissen:
0 = 0
und die Aussage ist ja immer wahr, d.h. es gibt unendliche viele Loesungen und somit ist es nicht mehr l.u.
Ich frag mich nur, ob das als Antwort genuegt. Also wenn ich schreibe: Vektor ist l.a., wenn a=0.
Hmm, wie dem auch sei, ich bedanke mich herzlich fuer Deine Hilfe ;)
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Hallo nochmal,
> Ja gut, wenn a=0 ist, dann ist es ja auf jedne Fall linear
> unabhaengig =) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
In dem Falle kannst du doch beliebige Zahlen für t einsetzen zB t=1, dann steht da halt [mm] 0\cdot{}1=0, [/mm] was auch wahr ist
Also sind die Vektoren für a=0 linear abhängig
(Du hast dich bestimmt verschrieben, weil alles weitere wieder stimmt )
> Dann wuerde es ja in der 3. Gleichung heissen:
>
> 0 = 0
>
> und die Aussage ist ja immer wahr, d.h. es gibt unendliche
> viele Loesungen
eben
> und somit ist es nicht mehr l.u. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Ich frag mich nur, ob das als Antwort genuegt.
Das kannst du doch mit der obigen Rechnung "untermauern", denn du hast ja explizit die Lösung angegeben, gib also für a=0 eine ganz konkrete Lösung r=..., s=..., t=... an, wobei nicht alle 0 sein dürfen, nimm zB, t=1 und berechne daraus r und s
> Also wenn
> ich schreibe: Vektor ist l.a., wenn a=0.
>
> Hmm, wie dem auch sei, ich bedanke mich herzlich fuer Deine
> Hilfe ;)
Gerne und Gruß
schachuzipus
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