Lineare Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 19.12.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Teilmenge von Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig ist:
[mm] W=\{1,\wurzel{2},\wurzel{3}\}\subset\IR [/mm] |
die dimension von [mm] \IR [/mm] beträgt ja 1, mehr als ein vektor sind im [mm] \IR [/mm] natürlich immer linear abhängig- so auch diese vektoren.
wenn ich nun die allgemeine lösung für [mm] a*1+b*\wurzel{2}+c*\wurzel{3}=0 [/mm] ermitteln will, führe ich zwei variablen ein, zb. [mm] c=\lambda [/mm] und [mm] b=\mu [/mm] damit ergibt sich dann [mm] a=-\wurzel{2}\mu-\wurzel{3}\lambda
[/mm]
bei (anderen) lgs kann man ja die lösungsmenge dann immer in parameterdarstellung angeben und erhält zb eine gerade, auf welcher alle lösungen liegen. in diesem fall erhalte ich dann [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{-\wurzel{3}\\0\\1}*\lambda+\vektor{-\wurzel{2}\\1\\0}*\mu
[/mm]
das ganze wäre ja dann mit einem male dreidimensional?!
wo liegt bei dieser wohl eigentlich ganz einfachen sache mein denkfehler?
vielen dank und gruß, die jule.
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> Untersuchen Sie, ob die Teilmenge von Vektoren linear
> abhängig oder linear unabhängig ist:
> [mm]W=\{1,\wurzel{2},\wurzel{3}\}\subset\IR[/mm]
> die dimension von [mm]\IR[/mm] beträgt ja 1,
Hallo,
sooooooo klar ist das nicht, es kommt darauf an, ob man [mm] \IR [/mm] als VR über dem Körper [mm] \IR [/mm] betrachtet, oder ob man [mm] \IR [/mm] als Vektorraum über dem Körper [mm] \IQ [/mm] betrachtet, was ich der Aufgabenstellung nicht entnehmen kann.
> mehr als ein vektor
> sind im [mm]\IR[/mm] natürlich immer linear abhängig- so auch diese
> vektoren.
Wenn Ihr [mm] \IR [/mm] als VR über sich selbst, also über [mm] \IR, [/mm] betrachten sollt, hast Du völlig recht.
Du kannst es einfach damit begründen, daß
0*1 + [mm] \wurzel{3}*\wurzel{2}+(-\wurzel{2})*\wurzel{3}=0 [/mm] ist, es also eine nichttriviale Darstellung der Null gibt.
> wenn ich nun die allgemeine lösung für
> [mm]a*1+b*\wurzel{2}+c*\wurzel{3}=0[/mm] ermitteln will, führe ich
> zwei variablen ein, zb. [mm]c=\lambda[/mm] und [mm]b=\mu[/mm] damit ergibt
> sich dann [mm]a=-\wurzel{2}\mu-\wurzel{3}\lambda[/mm]
> bei (anderen) lgs kann man ja die lösungsmenge dann immer
> in parameterdarstellung angeben und erhält zb eine gerade,
> auf welcher alle lösungen liegen. in diesem fall erhalte
> ich dann
> [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{-\wurzel{3}\\0\\1}*\lambda+\vektor{-\wurzel{2}\\1\\0}*\mu[/mm]
> das ganze wäre ja dann mit einem male dreidimensional?!
> wo liegt bei dieser wohl eigentlich ganz einfachen sache
> mein denkfehler?
Du hast festgestellt, daß sämtliche [mm] \vektor{a \\ b\\c}, [/mm] die Deine Gleichung lösen von der Gestalt
[mm] \vektor{a \\ b\\c}=\vektor{-\wurzel{3}\\0\\1}*\lambda+\vektor{-\wurzel{2}\\1\\0}*\mu [/mm] sind.
Daraus kannst Du ablesen, daß jede Kombination v. (a,b,c), die in obiger Ebene liegt, Deine Gleichung löst. Es gibt also nicht nur eine Lösung der obigen Gleichung, sondern viele.
Der Lösungsraum der Gleichung ist ein VR der Dimension 2 (denn er wird v. zwei Vektoren aufgespannt), er ist ein Unterrraum des [mm] \IR^3, [/mm] ( denn Du hast drei Variable a,b,c).
Die Verwirrung kommt daher, daß Du Deinen zu betrachtenden VR [mm] \IR [/mm] über [mm] \IR
[/mm]
munter mit dem Lösungsraum eines Gleichungssystems verquirlst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:29 Do 20.12.2007 | | Autor: | jura |
> Der Lösungsraum der Gleichung ist ein VR der Dimension 2
> (denn er wird v. zwei Vektoren aufgespannt), er ist ein
> Unterrraum des [mm]\IR^3,[/mm] ( denn Du hast drei Variable a,b,c).
der lösungsraum ist ein VR der dim 2, aber nicht [mm] \IR^2, [/mm] denn das ist ja kein UR des [mm] \IR^3. [/mm] was genau ist dann der unterschied zwischen meinem lösungsraum und dem [mm] \IR^2? [/mm] -ich möchte mir das immer gern räumlich vorstellen können!
> Die Verwirrung kommt daher, daß Du Deinen zu betrachtenden
> VR [mm]\IR[/mm] über [mm]\IR[/mm]
> munter mit dem Lösungsraum eines Gleichungssystems
> verquirlst.
>
ja, stimmt- aber es ist eben doch irgendwie verwirrend für mich....
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> > Der Lösungsraum der Gleichung ist ein VR der Dimension 2
> > (denn er wird v. zwei Vektoren aufgespannt), er ist ein
> > Unterrraum des [mm]\IR^3,[/mm] ( denn Du hast drei Variable a,b,c).
>
> der lösungsraum ist ein VR der dim 2, aber nicht [mm]\IR^2,[/mm]
> denn das ist ja kein UR des [mm]\IR^3.[/mm] was genau ist dann der
> unterschied zwischen meinem lösungsraum und dem [mm]\IR^2?[/mm] -ich
> möchte mir das immer gern räumlich vorstellen können!
Hallo,
Dein Lösungsraum ist eine Ebene im [mm] \IR^3, [/mm] die Ebene, die v. den beiden errechneten Vektoren aufgespannt wird. Sie geht durch den Ursprung und liegt "schief" im Raum.
Sie hat mit dem [mm] \IR^2 [/mm] gemeinsam, daß sie beide die Dimension 2 haben, sie sind isomorph.
Mit der Lösungsmenge Deiner Gleichung hat der [mm] \IR^2 [/mm] nichts zu tun - bis auf daß die Dimension gleich ist.
Gruß v. Angela
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