Lineare Abblidung (Fixpunkte) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Sa 06.02.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Sei V ein VR und [mm] $F:V\to [/mm] V$ eine lin. Abb. Sei
[mm] $\operatorname{Fix}F=\{v\in V:F(v)=v\}$
[/mm]
die Menge der Fixpunkte der Abbildung.
(eigentlicht lautet die Bedingung [mm] $\operatorname{Fix}F=\{v\in V:Fv=v\}$, [/mm] aber ich nehme mal an, dass die Klammern nur vergessen wurden, oder?)
a) Zeigen Sie, dass [mm] $\operatorname{Fix}F\subset [/mm] V$ ein UVR ist.
b) Sei [mm] $F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ [/mm] gegeben durch
[mm] $F(x)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0\\2 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot [/mm] x$
Bestimmen Sie eine Basis von [mm] $\operatorname{Fix}F$ [/mm] |
a) Seien $u,v [mm] \in\operatorname{Fix}F$, [/mm] also $F(u)=u$ und
$F(v)=v$ und [mm] $\lambda\in [/mm] K$, also ist
$u+v=F(u)+F(v)$ aufgrund der additivität einer lin. Abb. gilt $F(u)+F(v)=F(u+v)$, somit ist F bez. der addition abgeschlossen.
wegen der homogenität gilt:
[mm] $\lambda u=\lambda F(u)=F(\lambda [/mm] u)$ [mm] \Rightarrow [/mm] abgeschl. bez. Skalarmult.
wegen $F(0)=0$ gilt [mm] $\operatorname{Fix}F\neq\emptyset$ \square
[/mm]
ich hoffe, das stimmt so
b) hier bin ich etwas verwirrt... Ich soll eine Basis von
[mm] $\operatorname{Fix}F$ [/mm] bestimmen. Das bedeutet doch, dass ich eine Basis des Unterraums bestimmen soll, der auf sich selbst abgebildet wird, oder?!
Wenn ich das richtig verstehe, müsste das also auf die Lösung dieses Gleichungssystems hinauslaufen:
[mm] $\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2\\
0 & 1 & 0\\
2 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\end{array}\right)$
[/mm]
richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Sa 06.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Sei V ein VR und [mm]F:V\to V[/mm] eine lin. Abb. Sei
> [mm]\operatorname{Fix}F=\{v\in V:F(v)=v\}[/mm]
> die Menge der
> Fixpunkte der Abbildung.
>
> (eigentlicht lautet die Bedingung
> [mm]\operatorname{Fix}F=\{v\in V:Fv=v\}[/mm], aber ich nehme mal an,
> dass die Klammern nur vergessen wurden, oder?)
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\operatorname{Fix}F\subset V[/mm] ein UVR
> ist.
> b) Sei [mm]F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}[/mm] gegeben durch
>
> [mm]F(x)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0\\2 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot x[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Basis von [mm]\operatorname{Fix}F[/mm]
> a) Seien [mm]u,v \in\operatorname{Fix}F[/mm], also [mm]F(u)=u[/mm] und
> [mm]F(v)=v[/mm] und [mm]\lambda\in K[/mm], also ist
> [mm]u+v=F(u)+F(v)[/mm] aufgrund der additivität einer lin. Abb.
> gilt [mm]F(u)+F(v)=F(u+v)[/mm], somit ist F bez. der addition
> abgeschlossen.
Ja exakt. Ich persönlich finde es schöner wenn man es andersrum aufschreibt: $F(u+v)=F(u)+F(v)=u+v$ (natürlich die entsprechenden Begründungen immer dazudenken oder mitschreiben).
> wegen der homogenität gilt:
> [mm]\lambda u=\lambda F(u)=F(\lambda u)[/mm]
Genau. Ich hätte auch hier geschrieben [mm] $F(\lambda v)=\lambda F(v)=\lambda [/mm] v$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] abgeschl. bez. Skalarmult.
> wegen [mm]F(0)=0[/mm] gilt [mm]\operatorname{Fix}F\neq\emptyset[/mm]
> [mm]\square[/mm]
> ich hoffe, das stimmt so
Ja, sehr gut.
> b) hier bin ich etwas verwirrt... Ich soll eine Basis von
> [mm]\operatorname{Fix}F[/mm] bestimmen. Das bedeutet doch, dass ich
> eine Basis des Unterraums bestimmen soll, der auf sich
> selbst abgebildet wird, oder?!
Ja... das ist doch die Definition von [mm] $\operatorname{Fix}F$.
[/mm]
> Wenn ich das richtig verstehe, müsste das also auf die
> Lösung dieses Gleichungssystems hinauslaufen:
> [mm]$\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2\\
0 & 1 & 0\\
2 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\end{array}\right)$[/mm]
> richtig?
Naja, also was du schreibst ist im Grunde das LGS $Ax=x$ für diese Matrix A und [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^t$. [/mm] Aber wenn du das mit Gaußalgorithmus lösen willst darf ja die rechte Seite nicht von $x$ abhängen. Schreibe also [mm] $Ax=x\gdw Ax-x=0\gdw [/mm] (A-I)x=0$ wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Das heißt was du eigentlich tun musst, ist eine Basis von [mm] $\ker [/mm] (A-I)$ zu bestimmen.
An dieser letzten Rechnung erkennst du auch einen eleganten Beweis von a), denn wir haben ausgerechnet: [mm] $\operatorname{Fix}F=\ker (F-\operatorname{id}_V)=(F-\operatorname{id}_V)^{-1}(\{0\})$ [/mm] und das ist das Urbild eines Untervektorraumes (nämlich [mm] $\{0\}$) [/mm] unter einer linearen Abbildung (nämlich [mm] $F-\operatorname{id}_V$), [/mm] also ein UVR, wie ihr bestimmt mal in der Vorlesung gelernt habt.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 06.02.2010 | | Autor: | notinX |
> Naja, also was du schreibst ist im Grunde das LGS [mm]Ax=x[/mm]
> für diese Matrix A und [mm]x=(x_1,x_2,x_3)^t[/mm]. Aber wenn du das
> mit Gaußalgorithmus lösen willst darf ja die rechte Seite
> nicht von [mm]x[/mm] abhängen.
ah, das bringt Licht ins Dunkel, ich habe nämlich nur Mist rausbekommen...
> Schreibe also [mm]Ax=x\gdw Ax-x=0\gdw (A-I)x=0[/mm]
raffiniert, da wäre ich nicht drauf gekommen...
> wobei [mm]I[/mm] die Einheitsmatrix ist. Das heißt was du
> eigentlich tun musst, ist eine Basis von [mm]\ker (A-I)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zu
> bestimmen.
also:
$\left(\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0\\2 & 1 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\right)\cdot x=0\Rightarrow\left(\left.\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\end{array}\right|\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$
durch Vertauschen der Zeilen folgt:
$\left(\left.\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$
also ist $B=\left\{ \left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)\right\} $ Basis von $\operatorname{Fix}F$
|
|
|
| |
|
> also:
> [mm]\left(\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\0 & 1 & 0\\2 & 1 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\right)\cdot x=0\Rightarrow\left(\left.\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0\end{array}\right|\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)[/mm]
>
> durch Vertauschen der Zeilen folgt:
> [mm]\left(\left.\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)[/mm]
>
> also ist [mm]B=\left\{ \left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}\right)\right\}[/mm]
> Basis von [mm]\operatorname{Fix}F[/mm]
Hallo,
ja, richtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Sa 06.02.2010 | | Autor: | notinX |
Ich danke euch beiden!
|
|
|
|
