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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Hallo ihr lieben!
Ich brauche wieder einmal dringend eure Hilfe. Ich soll Kern u. Bild einer lin. Abb. berechnen:
[mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] , [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] , [mm] -x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}).
[/mm]
Für den Kern muss ich ja einfach die Koordinaten des Bildes gleich 0 setzten (da ja Kef(f)={f(v)=0}). Also hab ich folgendes GLS:
I: [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 0
II: [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
III: [mm] -x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 0
Also hab ich für die 2. Gl: [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{x_{2}}{2}. [/mm] Eingesetzt in die 1. und 3. krieg ich dann:
1.: [mm] x_{3} [/mm] = [mm] 3x_{2}, [/mm] Also ist der Kern: [mm] \{ t( -\bruch{1}{2}, 1, 3), t \in R \}. [/mm] Stimmt das so???
Für das Bild muss ich doch alle Vektoren (x,y,z) des [mm] R^3 [/mm] finden, die die obige Bedingung erfüllen, also:
I: [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = x
II: [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = y
III: [mm] -x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = z
Aber so komm ich auf nichts, wäre der Ansatz richtig?
Ich probier schon so lange herum, es ist zum verzweifeln. Bitte dringend um Hilfe. Lg Manuel
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> Hallo ihr lieben!
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> Ich brauche wieder einmal dringend eure Hilfe. Ich soll
> Kern u. Bild einer lin. Abb. berechnen:
> [mm]f(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm] = [mm](x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] , [mm]2x_{1}[/mm]
> + [mm]x_{2}[/mm] , [mm]-x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}).[/mm]
>
> Für den Kern muss ich ja einfach die Koordinaten des Bildes
> gleich 0 setzten (da ja Kef(f)={f(v)=0}). Also hab ich
> folgendes GLS:
> I: [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = 0
> II: [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 0
> III: [mm]-x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = 0
>
> Also hab ich für die 2. Gl: [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{x_{2}}{2}.[/mm]
> Eingesetzt in die 1. und 3. krieg ich dann:
> 1.: [mm]x_{3}[/mm] = [mm]3x_{2},[/mm] Also ist der Kern: [mm]\{ t( -\bruch{1}{2}, 1, 3), t \in R \}.[/mm]
> Stimmt das so???
Hallo,
daß das nicht stimmt, siehst Du, wenn Du f( [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] 1, 3) berechnst.
Aber - Du hast richtig überlegt, nur falsch gerechnet. Setz [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{x_{2}}{2}[/mm] nochmal ein...
>
> Für das Bild muss ich doch alle Vektoren (x,y,z) des [mm]R^3[/mm]
> finden, die die obige Bedingung erfüllen, also:
>
> I: [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = x
> II: [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = y
> III: [mm]-x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] = z
> Aber so komm ich auf nichts, wäre der Ansatz richtig?
Ja. Anders gechrieben
f( [mm] \vektor{x \\ y \\ z})=\vektor{x_{1} - x_{2} + 2x_{3} \\ 2x_{1}+ x_{2}\\ -x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3}}
[/mm]
[mm] =x_1\vektor{1 \\ 2 \\ -1}+x_2\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}+x_3\vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Da sollte Dir jetzt ein Erzeugendensystem des Bildes einfallen!
Jetzt könntest Du natürlich noch über die Dimensiondes Bildes nachdenken und eine Basis suchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Vielen dank, erstmals für deine Antwort. Die basis des Bildes muss ja 2 sein. Also hab ich als Basis: (1,2,-1), (-1,1,-2). Und das wars, oder?
Lg
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> Vielen dank, erstmals für deine Antwort. Die basis des
> Bildes muss ja 2 sein. Also hab ich als Basis: (1,2,-1),
> (-1,1,-2). Und das wars, oder?
>
Ja.
Gruß v. Angela
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