Lineare Abbildungen & Matrizen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 17.03.2013 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | Hey! Ich versuche den Zusammenhang zwischen Linearen Abbildungen und Matrizen zu verstehen.
Also seien mal $V, W$ $K-$Vektorräume, [mm] $f:V\to [/mm] W$ linear und [mm] $B_V=\{v_1,\dots , v_n\}$, $B_W=\{w_1,\dots , w_m\}$ [/mm] eine Basis von $V$ bzw. von $W$. |
Wir haben folgendes Diagramm: ![[]](/images/popup.gif) kommutatives Diagramm
Also [mm] $\Phi_{B_V}$ [/mm] ist die Abbildung [mm] $\Phi_{B_V}: K^n\to [/mm] V,\ [mm] \vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}\mapsto \summe_{i=1}^{n}x_iv_i$
[/mm]
Aber was soll das bedeuten? Wenn ich $K$ jetzt mal als [mm] $\IR$ [/mm] annehme, bilde ich damit ja z.B. [mm] $\vektor{2 \\ \vdots \\ 2}$ [/mm] auf [mm] $2v_1+\dots [/mm] , [mm] +2v_n$ [/mm] ab. Was bringt mir das? Ich bin echt gerade am verzweifeln, weil ich es einfach nicht verstehe... :(
Bitte helft mir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 So 17.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sandra,
> Hey! Ich versuche den Zusammenhang zwischen Linearen
> Abbildungen und Matrizen zu verstehen.
>
> Also seien mal [mm]V, W[/mm] [mm]K-[/mm]Vektorräume, [mm]f:V\to W[/mm] linear und
> [mm]B_V=\{v_1,\dots , v_n\}[/mm], [mm]B_W=\{w_1,\dots , w_m\}[/mm] eine Basis
> von [mm]V[/mm] bzw. von [mm]W[/mm].
>
>
>
> Wir haben folgendes Diagramm:
> kommutatives Diagramm
>
> Also [mm]\Phi_{B_V}[/mm] ist die Abbildung [mm]\Phi_{B_V}: K^n\to V,\ \vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}\mapsto \summe_{i=1}^{n}x_iv_i[/mm]
>
> Aber was soll das bedeuten? Wenn ich [mm]K[/mm] jetzt mal als [mm]\IR[/mm]
> annehme, bilde ich damit ja z.B. [mm]\vektor{2 \\ \vdots \\ 2}[/mm]
> auf [mm]2v_1+\dots , +2v_n[/mm] ab. Was bringt mir das? Ich bin echt
> gerade am verzweifeln, weil ich es einfach nicht
> verstehe... :(
Dir geht's doch anscheinend erstmal um die Koordinatenabbildung, wenn
ich das aus Deiner Frage richtig rauslese? In einem endlichdimensionalen
Vektorraum [mm] $V\,$ [/mm] hat jeder Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ eine eindeutig bestimmte
Darstellung
[mm] $$v=\sum_{k=1}^n x_k(v) *v_k\,,$$
[/mm]
wenn [mm] $B_V=\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $V\,$ [/mm] ist.
Somit kannst Du [mm] $v\,=\sum_{k=1}^n x_k(v) *v_k$ [/mm] mit [mm] $(x_1(v),....,x_n(v))^T=\vektor{x_1(v)\\.\\.\\.\\x_n(v)} \in K^n$ [/mm] identifizieren. Und
damit kannst Du quasi in [mm] $V\,$ [/mm] so rechnen, wie Du es im [mm] $K^n$ [/mm] tust. (Die
Addition im [mm] $K^n$ [/mm] ist ja die "naheliegende".)
Es gibt dafür ein ganz einfaches Beispiel, an dem Du Dir das ganze schnell
ein wenig klarer machen kannst.
Wir setzen [mm] $f_j\colon \IR \to \IR$ [/mm] fest durch
[mm] $$f_j(x):=x^j \text{ für }j \in \IN_0\,.$$
[/mm]
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest. Betrachte die Menge [mm] $P_n:=\{p \colon \IR \to \IR:\;\;p \text{ ist Polynomfunktion mit Grad } \le n\}\,.$
[/mm]
Offenbar ist [mm] $P_n$ [/mm] ein Unterraum des Vektorraums aller Funktionen [mm] $\IR \to \IR\,.$
[/mm]
Die Menge [mm] $\{f_j:\;\; j=0,...,n\}$ [/mm] ist eine Basis von [mm] $P_n\,.$ [/mm] Für etwa
$n=4$ kann ich die Summe der Polynomfunktionen
$$x [mm] \mapsto 3x^2+\pi [/mm] x+2$$
und
$$x [mm] \mapsto 7x^4+3x$$
[/mm]
einfach berechnen, indem ich
[mm] $$\vektor{2\\\pi\\3\\0\\0}+\vektor{0\\3\\0\\0\\7}=\vektor{2\\\pi+3\\3\\0\\7}$$
[/mm]
ausrechne. Der letzte Vektor wird wieder mit
$$x [mm] \mapsto 7x^4+0x^3+3x^2+(\pi+3)x+2x^0$$
[/mm]
identifiziert. Damit siehst Du z.B.:
Eine Polynomfunktion erscheint uns als Vektor so erstmal abstrakt, aber
weil wir sie mit einem Element aus [mm] $K^{\tilde{n}}$ [/mm] identifizieren können, und wir
uns in diesem "Modellraum" gut auszukennen glauben, nimmt uns das
ganze das "Abstrakte". Jetzt wirkt das Beispiel auch wieder sehr einfach,
weil ich halt eine einfache Basis von [mm] $P_n$ [/mm] angegeben habe (beachte,
dass [mm] $P_n$ [/mm] die Dimension [mm] $n+1\,$ [/mm] hat). Jetzt könnte man für [mm] $P_n$ [/mm] aber
auch eine "kompliziertere" Basis wählen. Und das ganze "Gedöns" oben
zeigt ja, dass [mm] $P_n$ [/mm] im Wesentlichen das Gleiche ist wie [mm] $K^{n+1}\,.$ [/mm] Das
heißt, dass das ganze, also wenn man nun nicht einfach nur mit den
Monomen eine Basis von $Ü_n$ angibt, im Prinzip dann genauso ablaufen
wird, wie wenn man im [mm] $K^{n+1}$ [/mm] halt eine "Nicht-Standardbasis" wählt.
Der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen $V [mm] \to [/mm] W$ und den
darstellenden Matrizen, die ja auch von der Wahl einer Basis von [mm] $V\,$ [/mm] und
einer Basis von [mm] $W\,$ [/mm] abhängen, nun vertieft zu erklären, finde ich ein
wenig zu viel des Guten an dieser Stelle. Das ganze wird, wie ich finde, in
"Bosch, Lineare Algebra", sehr gut und ausführlich beschrieben. Allerdings
ist das Buch ziemlich "formal". Du kannst aber auch hier (klick!) mal reingucken:
Nach Satz 6.7. (Allerdings ist auch das Skript ziemlich "formal".)
Vielleicht versuchst Du, erstmal das "Gedöns" mit den
Koordinatenabbildungen zu verstehen, und wenn Du das ein wenig besser
verstanden hast, dann kann man zu den Matrizen kommen. Denn da gibt's
ja auch sowas wie Basiswechsel- bzw. Transformationsmatrizen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 So 17.03.2013 | | Autor: | saendra |
Hi Marcel! Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort. Kann ich es in meinen eigenen Worten nochmal zusammenfassen und du schaust dann, ob ich es verstanden habe? Das wäre sehr nett!
Also wenn man sich das Diagramm anguckt, dann gilt ja [mm] $f=\Phi_{B_W}\circ M_{B_W}^{B_V}(f)\circ\Phi_{B_V}^{-1}$
[/mm]
Den Umweg auf dem Diagramm und das ganze Procedere macht man doch doch, wenn man $f(v)$ bestimmen will [mm] $\forall\ v\in [/mm] V$, und dies nicht (leicht) geht, weil z.B. $V$ und $W$ nicht so etwas schönes sind wie [mm] $\IR^n$ [/mm] und [mm] $\IR^m$. [/mm] Also bestimmt man $f(v)$ mithilfe der Abbildungsmatrix? (Wie man auf die Abbildungsmatrix als kommt weiß ich)
[mm] $\triangleright \qquad f=\Phi_{B_W}\circ M_{B_W}^{B_V}(f)\circ\Phi_{B_V}^{-1}\qquad \triangleleft$ [/mm] bedeutet doch, dass man ein [mm] $v\in [/mm] V$ zunächst durch die eindeutige Linearkombination der Basisvektoren darstellt: $v= [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_iv_i$ [/mm] und das mit der Abbildung [mm] $\Phi_{B_V}^{-1}: V\to K^n,\ \summe_{i=1}^{n}x_iv_i\mapsto \vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}$ [/mm] auf [mm] $\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}$ [/mm] abbildet.
Dieses [mm] $\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}$ [/mm] wird dann durch die Abbildung [mm] $M_{B_W}^{B_V}(f): K^n\to K^m,\ x\mapsto A\cdot [/mm] x$ auf naja [mm] $A\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}$ [/mm] eben abgebildet. Sagen wir mal [mm] $A\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}=\vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_m} [/mm] $.
Und wenn man auf dieses hier [mm] $\vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_m}$ [/mm] die Abbildung [mm] $\Phi_{B_W}: K^m\mapsto [/mm] W,\ [mm] \vektor{y_1 \\ \vdots \\ y_m}\mapsto \summe_{i=1}^{m}y_iw_i$ [/mm] anwendet, dann ist dieses [mm] $\summe_{i=1}^{m}y_iw_i$ [/mm] gleich $f(v)$, nur halt dargestellt als Linearkombination der Basisvektoren [mm] $w_1,\dots [/mm] , [mm] w_m$ [/mm] von $W$? Also im Endeffekt hat man dasselbe $f(v)$ heraus, so wie wenn man es direkt mit $f$ abgebildet hätte (was aber nicht immer leicht ist)?
GLG Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mo 18.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Marcel! Vielen lieben Dank für deine ausführliche
> Antwort. Kann ich es in meinen eigenen Worten nochmal
> zusammenfassen und du schaust dann, ob ich es verstanden
> habe? Das wäre sehr nett!
>
>
> Also wenn man sich das
> Diagramm
> anguckt, dann gilt ja [mm]f=\Phi_{B_W}\circ M_{B_W}^{B_V}(f)\circ\Phi_{B_V}^{-1}[/mm]
>
> Den Umweg auf dem Diagramm und das ganze Procedere macht
> man doch doch, wenn man [mm]f(v)[/mm] bestimmen will [mm]\forall\ v\in V[/mm],
> und dies nicht (leicht) geht, weil z.B. [mm]V[/mm] und [mm]W[/mm] nicht so
> etwas schönes sind wie [mm]\IR^n[/mm] und [mm]\IR^m[/mm]. Also bestimmt man
> [mm]f(v)[/mm] mithilfe der Abbildungsmatrix? (Wie man auf die
> Abbildungsmatrix als kommt weiß ich)
>
>
> [mm]\triangleright \qquad f=\Phi_{B_W}\circ M_{B_W}^{B_V}(f)\circ\Phi_{B_V}^{-1}\qquad \triangleleft[/mm]
> bedeutet doch, dass man ein [mm]v\in V[/mm] zunächst durch die
> eindeutige Linearkombination der Basisvektoren darstellt:
> [mm]v= \summe_{i=1}^{n}\lambda_iv_i[/mm] und das mit der Abbildung
> [mm]\Phi_{B_V}^{-1}: V\to K^n,\ \summe_{i=1}^{n}x_iv_i\mapsto \vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}[/mm]
> auf [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}[/mm] abbildet.
>
>
> Dieses [mm]\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}[/mm] wird dann
> durch die Abbildung [mm]M_{B_W}^{B_V}(f): K^n\to K^m,\ x\mapsto A\cdot x[/mm]
> auf naja [mm]A\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}[/mm] eben
> abgebildet. Sagen wir mal [mm]A\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}=\vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_m} [/mm].
>
>
> Und wenn man auf dieses hier [mm]\vektor{\mu_1 \\ \vdots \\ \mu_m}[/mm]
> die Abbildung [mm]\Phi_{B_W}: K^m\mapsto W,\ \vektor{y_1 \\ \vdots \\ y_m}\mapsto \summe_{i=1}^{m}y_iw_i[/mm]
> anwendet, dann ist dieses [mm]\summe_{i=1}^{m}y_iw_i[/mm] gleich
> [mm]f(v)[/mm], nur halt dargestellt als Linearkombination der
> Basisvektoren [mm]w_1,\dots , w_m[/mm] von [mm]W[/mm]? Also im Endeffekt hat
> man dasselbe [mm]f(v)[/mm] heraus, so wie wenn man es direkt mit [mm]f[/mm]
> abgebildet hätte (was aber nicht immer leicht ist)?
Du hast das Prinzip verstanden.
FRED
>
>
> GLG Sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mo 18.03.2013 | | Autor: | saendra |
tausend Dank! 
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