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Hey,
wie kann ich die Anzahl der linearen Abbildungen von [mm] \IF_{3}^2\to \IF_{3}^2 [/mm] bestimmen und wie kann ich bestimmen, wie viele einen 0-,1- bzw. 2-dimensionalen Kern haben?
Also erstmal weiß ich ja, dass [mm] \IF_{3} [/mm] aus 3 Elementen besteht: {0,1,2} Somit besteht dann [mm] \IF_{3}^2 [/mm] aus 9 Elementen: (0,0), (0,1) etc. .
Nun kann ich zu jedem der 9 Elemente des Urbildes je 9 verschiedene Elemente des Bildes zuordnen, d.h. [mm] 9^9 [/mm] Möglichkeiten die Elemente zu zuordnen. Aber wie viele linearen Abbildungen gibt es nun?
Zum Kern:
Für den 0-dimensionalen Kern gibt es genau eine Abbildung, nämlich die, die nur die Null auf Null abbildet.
Was mache ich für die anderen Fälle, bzw. sind meine Ansätze richtig?
mfg piccolo
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Hallo piccolo1986,
> Hey,
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> wie kann ich die Anzahl der linearen Abbildungen von
> [mm]\IF_{3}^2\to \IF_{3}^2[/mm] bestimmen und wie kann ich
> bestimmen, wie viele einen 0-,1- bzw. 2-dimensionalen Kern
> haben?
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> Also erstmal weiß ich ja, dass [mm]\IF_{3}[/mm] aus 3 Elementen
> besteht: {0,1,2} Somit besteht dann [mm]\IF_{3}^2[/mm] aus 9
> Elementen: (0,0), (0,1) etc. .
> Nun kann ich zu jedem der 9 Elemente des Urbildes je 9
> verschiedene Elemente des Bildes zuordnen, d.h. [mm]9^9[/mm]
> Möglichkeiten die Elemente zu zuordnen. Aber wie viele
> linearen Abbildungen gibt es nun?
du zählst alle möglichen Abbildungen von [mm]\IF_{3}^2[/mm] nach
[mm]\IF_{3}^2[/mm] und gehst nicht darauf ein, dass diese linear sein sollen. Wie lassen sich denn lineare Abbildungen charakterisieren (Stichwort Matrizen)?
> Zum Kern:
> Für den 0-dimensionalen Kern gibt es genau eine Abbildung,
> nämlich die, die nur die Null auf Null abbildet.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was mache ich für die anderen Fälle, bzw. sind meine
> Ansätze richtig?
Für die anderen Fälle musst du dir überlegen wie viele Abb. [mm]\IF_{3}^2\to \IF_{3}^2[/mm] existieren, die Rang 0,1 bzw. 2 haben. Da [mm]\IF_{3}^2[/mm] nur 9 Elemente hat, kannst du das einfach ausprobieren.
> mfg piccolo
Gruß
Spunk
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo piccolo,
> Zum Kern:
> Für den 0-dimensionalen Kern gibt es genau eine Abbildung,
> nämlich die, die nur die Null auf Null abbildet.
Nein, das stimmt nicht. Es gibt verschiedene lineare Abbildungen [mm] \IF_3^2\to\IF_3^2, [/mm] die nur die Null auf Null abbilden. Diese Abbildungen sind genau die injektiven ( = surjektiven = bijektiven) linearen Abbildungen [mm] \IF_3^2\to\IF_3^2.
[/mm]
Vom Durchprobieren aller linearen Abbildungen [mm] \IF_3^2\to\IF_3^2 [/mm] daraufhin, ob ihr Kern Dimension 0, 1 oder 2 hat, rate ich dringend ab! Ich verrate, glaube ich, nicht zu viel, wenn ich mitteile, dass es über 50 solche linearen Abbildungen gibt.
Ich würde die Anzahlen linearer Abbildungen mit Kern von Dimension 0 und 2 jeweils direkt bestimmen und dann die Anzahl der linearen Abbildungen mit Kern von Dimension 1 daraus schlussfolgern.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:04 Di 13.03.2012 | | Autor: | piccolo1986 |
> Hallo piccolo,
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> > Zum Kern:
> > Für den 0-dimensionalen Kern gibt es genau eine Abbildung,
> > nämlich die, die nur die Null auf Null abbildet.
> Nein, das stimmt nicht. Es gibt verschiedene lineare
> Abbildungen [mm]\IF_3^2\to\IF_3^2,[/mm] die nur die Null auf Null
> abbilden. Diese Abbildungen sind genau die injektiven ( =
> surjektiven = bijektiven) linearen Abbildungen
> [mm]\IF_3^2\to\IF_3^2.[/mm]
>
> Vom Durchprobieren aller linearen Abbildungen
> [mm]\IF_3^2\to\IF_3^2[/mm] daraufhin, ob ihr Kern Dimension 0, 1
> oder 2 hat, rate ich dringend ab! Ich verrate, glaube ich,
> nicht zu viel, wenn ich mitteile, dass es über 50 solche
> linearen Abbildungen gibt.
>
> Ich würde die Anzahlen linearer Abbildungen mit Kern von
> Dimension 0 und 2 jeweils direkt bestimmen und dann die
> Anzahl der linearen Abbildungen mit Kern von Dimension 1
> daraus schlussfolgern.
>
> Viele Grüße
> Tobias
Könntest du mir evtl. kurz beschreiben, wie ich vorgehen müsste? Finde irgendwie keinen Ansatz.
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Bei welchem der folgenden Teile hakt es denn?
1. Anzahl aller linearen Abbildungen [mm] \IF_3^2\to\IF_3^2 [/mm] (s. Matrizen-Hinweis von DerSpunk)
2. Anzahl der linearen Abbildungen [mm] \IF_3^2\to\IF_3^2 [/mm] mit Kern von Dimension 2 (Wie sieht also so ein Kern aus? Wie sieht damit eine solche Abbildung aus? Wie viele gibt es davon?)
3. Anzahl der linearen Abbildungen [mm] \IF_3^2\to\IF_3^2 [/mm] mit Kern von Dimension 0 (Der meiner Meinung nach schwierigste Teil. Welche Matrizen entsprechen diesen Abbildungen? Wie viele Möglichkeiten gibt es für die erste Spalte, wieviele Möglichkeiten dann jeweils für die zweite Spalte?)
4. Anzahl der linearen Abbildungen [mm] \IF_3^2\to\IF_3^2 [/mm] mit Kern von Dimension 1 (Benutze 1. bis 3.)
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