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| Aufgabe | Wir betrachten die linearen Abbildungen [mm] \alpha:\IR^{2}\to\IR^{3} [/mm] und [mm] \beta:\IR^{3}\to\IR [/mm] mit
[mm] \alpha(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1},3x_{1}-x_{2})^{T} [/mm] , [mm] \beta(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{2}+y_{3}-y_{1}.
[/mm]
Bestimmen die zu [mm] \alpha,\beta [/mm] und [mm] \beta\circ\alpha [/mm] zugehörigen Matrizen.
Wie hängen diese Matrizen zusammen? |
Hallo,
ich bräuchte einen Ansatz.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Di 18.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die linearen Abbildungen
> [mm]\alpha:\IR^{2}\to\IR^{3}[/mm] und [mm]\beta:\IR^{3}\to\IR[/mm] mit
> [mm]\alpha(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1},3x_{1}-x_{2})^{T}[/mm] ,
> [mm]\beta(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{2}+y_{3}-y_{1}.[/mm]
>
> Bestimmen die zu [mm]\alpha,\beta[/mm] und [mm]\beta\circ\alpha[/mm]
> zugehörigen Matrizen.
> Wie hängen diese Matrizen zusammen?
> Hallo,
>
> ich bräuchte einen Ansatz.
Es ist [mm] $\alpha(1,0) [/mm] = [mm] (0,1,3)^T$ [/mm] und [mm] $\alpha(0,1) [/mm] = [mm] (1,0,-1)^T$
[/mm]
Damit sist die zu [mm] \alpha [/mm] geh. Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}
[/mm]
So jetzt Du. Bestimme die Matrix von [mm] \beta
[/mm]
FRED
>
> Danke.
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So, jetzt zu [mm] \beta [/mm] :
[mm] \beta(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{2}+y_{3}-y_{1}
[/mm]
[mm] \beta(1,0,0)=-1
[/mm]
[mm] \beta(0,1,0)=1
[/mm]
[mm] \beta(0,0,1)=1
[/mm]
--> [mm] \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }=\beta
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Di 18.05.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du das ganze jetzt noch als transponierte Matrix hinschreibst, also [mm] $\beta [/mm] = [mm] \left(-1,1,1\right)$, [/mm] dann passt es. Denn du bildest ja vom [mm] $\mathbbm{R}^3 \rightarrow \mathbbm{R}^1$ [/mm] ab, d.h. du willst deine darstellende Matrix mit einem Vektor aus dem [mm] $\mathbbm{R}^3$ [/mm] multiplizieren.
Wenn diese jetzt, wie deine vom Typ [mm] $3\times [/mm] 1$ ist, dann muesstest du mit einem $1 [mm] \times [/mm] n$ Vektor multiplizieren, damit die Matrizenmultiplikation definiert ist. Da du aber mit einer [mm] $3\times [/mm] 1$ Matrix (bzw was man dann auch Vektor nennt) multiplizieren magst, sollte deine Matrix eben, damit du in den [mm] $\mathbbm{R}^1=\mathbbm{R}$ [/mm] abbilden kannst, vom Typ [mm] $1\times [/mm] 3$ sein, denn [mm] $(1\times [/mm] 3) [mm] \cdot [/mm] (3 [mm] \times [/mm] 1) = 1 [mm] \times [/mm] 1$
Aber du meintest das richtige, ist halt dann nur die Definition der Matrix, die man ja bestimmen soll, dass diese von der Form $1 [mm] \times [/mm] 3$ sein sollte, damit man mit einem Vektor [mm] $\vec{y} [/mm] = [mm] \pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_3}$ [/mm] mult. kann.
LG
Kroni
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wie kann ich jetzt [mm] \beta\circ\alpha [/mm] heraus bekommen? ich habe nämlich eine [mm] 3x2(\beta) [/mm] und eine [mm] 1x3(\alpha) [/mm] Matrix.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Di 18.05.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die darstellende Matrix von [mm] $\beta$ [/mm] ist doch eine $1 [mm] \times [/mm] 3 $ Matrix (das ist doch ein Zeilenvektor), die von [mm] $\alpha$ [/mm] ist eine $3 [mm] \times [/mm] 2 $ Matrix, d.h. [mm] $\beta \circ \alpha$ [/mm] ist eine $(1 [mm] \times [/mm] 3 ) [mm] \cdot [/mm] (3 [mm] \times [/mm] 2) = 1 [mm] \times [/mm] 2$ Matrix, d.h. sie geht vom [mm] $\mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^1$, [/mm] da ja auch [mm] $\alpha:\; \mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^3$ [/mm] und [mm] $\beta: \; \mathbbm{R}^3 \rightarrow \mathbbm{R}^1$, [/mm] d.h. [mm] $\beta \circ \alpha: \; \mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^1$, [/mm] also muss das eine $1 [mm] \times [/mm] 2 $ Matrix sein, wie es ja auch ist, denn was ist denn
[mm] $\beta \circ \alpha [/mm] = (-1,1,1) [mm] \cdot \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}$?
[/mm]
LG
Kroni
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Hallo,
ich habe jetzt folgendes gemacht [mm] \beta\circ\alpha= [/mm] (-1,1,1) [mm] \cdot \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}= [/mm] (4, -2)
die frage ist noch: wie hängen die matrizen zusammen? was soll man darauf antworten? ich denke, dass diese matrizen insofern zusammenhängen, dass man die matrizen kreuzen kann und aus einer 1-dimensionalen und 3-dimensionalen Matrix eine 2-dimensionale Abbildung erhält. liegt die vermutung richtig?
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> Hallo,
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> ich habe jetzt folgendes gemacht [mm]\beta\circ\alpha=[/mm] (-1,1,1)
> [mm]\cdot \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}=[/mm] (4, -2)
>
> die frage ist noch: wie hängen die matrizen zusammen?
Hallo,
komische Frage irgendwie...
Ich glaube, daß man antworten soll, daß die zu [mm] \beta\circ\alpha [/mm] gehörende Matrix das Produkt derer zu [mm] \beta [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ist.
Ich könnte mir vorstellen, daß Deine Chefs vielleicht noch gerne gesehen hätten, daß Du schreibst
[mm] \beta\circ\alpha(x_1, x_2)=\vektor{...\\...},
[/mm]
daraus die Matrix findest, und sie dann damit erfreust, daß Du sagst: sie ist das Produkt.
> was
> soll man darauf antworten? ich denke, dass diese matrizen
> insofern zusammenhängen, dass man die matrizen kreuzen
> kann
Bei Tierrassen kann ich mir das vorstellen. Wie man Matrizen kreuzt, weiß ich nicht.
> und aus einer 1-dimensionalen und 3-dimensionalen
> Matrix eine 2-dimensionale Abbildung erhält.
Man multipliziert eine [mm] 1\times [/mm] 3-Matrix mit einer [mm] 3\times [/mm] 2- Matrix und erhält eine [mm] 1\times [/mm] 2 Matrix, welche eine Abbildung aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR [/mm] darstellt.
Gruß v. Angela
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