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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Do 20.01.2005 | | Autor: | manxx |
Hallo,
Wie besimme ich allgemein die Linearität einer Abbildung?
Beispielsweise wie würde ich bei folgenden Abb. vorgehen?
f: [mm] \IR2 [/mm] -> [mm] \IR3
[/mm]
f:(x,y) = [mm] \pmat{ y \\ -x -y \\ -x }
[/mm]
und
g: [mm] \IR3 [/mm] -> [mm] \IR2
[/mm]
g:(x,y,z) = [mm] \pmat{ -x +z \\ 2x +y -z }
[/mm]
Gruß!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 20.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du musst einfach folgende zwei Bedingungen überprüfen:
1) [mm] F(\vektor{x_1\\y_1}+\vektor{x_2\\y_2})=F(\vektor{x_1\\y_1})+F(\vektor{x_1\\y_1})
[/mm]
2) [mm] F(\lambda *\vektor{x\\y})=\lambda *F(\vektor{x\\y})
[/mm]
einfach allgmein ansetzen und schauen, ob man es umformen kann !
schreib mal auf, wie weit du kommst!
um zu zeigen, dass eine Abbildung NICHT linear ist, reicht es natürlich Gegenbeispiele zu finden !
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 20.01.2005 | | Autor: | manxx |
also ich habe ehrlich gesagt nicht wirklich die ahnung.
wie soll ich denn das machen? (bei den 2 beispielen)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 20.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
ok,
du musst wirklich nur einsetzen:
eins mache ich dir mal ein bischen vor:
zu f:
$ [mm] f(\vektor{x_1\\y_1}+\vektor{x_2\\y_2})=f(\vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2}) [/mm] $
und nach definition von f :
$ [mm] =\vektor{ y_1+y_2 \\ -(x_1+x_2) -(y_1+y_2)\\ -(x_1+x_2)} [/mm] $
dies darf man dann im R² umformen zu:
$ [mm] =\vektor{ y_1+y_2 \\ -x_1-x_2 -y_1 -y_2\\ -x_1-x_2}=\vektor{y_1 \\ -x_1 -y_1 \\ -x_1}+\vektor{y_2 \\ -x_2 -y_2\\ -x_2} [/mm] $
und dies ist das selbe (wenn man wieder die Definition von f verwendet) wie $ [mm] f(\vektor{x_1\\y_1})+f(\vektor{x_1\\y_1}) [/mm] $
also ist die erste Eigenschaft einer linearen Abbildung damit erfüllt, den rest schaffst du bestimmt alleine - schreib deine Versuche ruhig hier hin !
viele Grüße
DaMenge
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