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Hallo ihr,
in meiner Prüfung soll ich am nafang 5 Minuten mit einem selbstgewählten Thema anfangen und da habe ich mir die linearen Abbildungen ausgesucht.
Und zwar folgendes:
Eine lineare Abbildung ist ein Homomorphismus von Vektorräumen. Für diesen muss gelten:
f:V->W , [mm] f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)
[/mm]
f(cv)=cf(v) [mm] c\inK; v_1,v_2\inV
[/mm]
Aus diesen Regeln lässt sich dann auch ein Krtierium für lineare Abbildungen herleiten, nämlich:
f(0)=0 => denn: [mm] f(0)=F(v_1-v_1)=f(v_1)-f(v_1)=0
[/mm]
Ein Beispiel für eine lineare Abbildung ist f: [mm] \IR^2->\IR^3 [/mm] , [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}\mapsto \vektor{x_1+x_2 \\2x_1 \\ x_1-x_2}
[/mm]
So dann würde ich auch schon dazu übergehen, dass lineare Abbildungen durch Matrizen dargestellt werden können.
Zunächst: 1.Jede Matrix definiert eine lineare Abbildung [mm] f_A: V_n(K)-> V_m(K)
[/mm]
[mm] v\mapstoAv
[/mm]
Das könnte ich, wenn der Proefessor es wünscht auch anchweisen:
2.Jede lineare Abbildung ist fon der Form [mm] f_A [/mm] für genau eine Matrix [mm] A\subsetM_m,n(K)
[/mm]
Beweis: Hier muss eigetlich nur die Eindeutigkeit gezeigt werden=> [mm] A*e^{(n)}_j [/mm] ist der Spaltenvektor von A , also sind die Bilder der Basiselemente [mm] e^{(n)}_1,...,e^{(n)}_n [/mm] , nämlich [mm] f_A(e^{(n)}_1),...,f_A(e^{(n)}_n) [/mm] die Spaltenvektoren von A=> das ist Eindeutig!
Allerdings muss hier einschränkend gesagt werden, dass es bis auf die Wahl der Basis eindeutig ist, sodass man dann übergehen könnte zu Basiswechsel.
Aber ich würde wohl erst einmal verdeutlichen, wie ich bezüglich der Standardbasis eine Darstellungsmatrix aufstelle und dann dazu übergehen würde, diese Abbildung bezüglich einer anderen Basis aufzustellen.
Das wäre also dann:
Für obige lineare Abbildung bezüglich der Standardbasis:
[mm] f(e^{(2)}_1)= \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] , [mm] f(e^{(2)}_2)= \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}= 1*e^{(3)}_1+2*e^{(3)}_2+1*e^{(3)}_3
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} =1*e^{(3)}_1 [/mm] - [mm] 1*e^{(3)}_3
[/mm]
Dann ist die Abbildungsmatrix: [mm] M^{S}_S(f) =\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & -1}
[/mm]
So nun kann man aber diese Matrix auch bezüglich anderer Basen darstellen.
Hier sei nun B die Basis von V : [mm] b_1=\vektor{1 \\ 2}, b_2=\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
und B' die Basis von V': b'_1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, [/mm] b'_2= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, [/mm] b'_3= [mm] \vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
So dann muss die neue Basis bezüglich der alten darstellen: [mm] \vektor{1 \\ 2}=1*e^{(2)}_1+2*e^{(2)}_2 [/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 1}=2*e^{(2)}_1+1*e^{(2)}_2 [/mm]
Damit ist [mm] M^{S}_B [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
und nach selben Schema ist [mm] M^{S}_B'= \pmat{ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}
[/mm]
Da wir aber die Matrix [mm] M^{B'}_S [/mm] brauchen müssen wir diese matrix invertieren.
Und dann gilt [mm] M^{B'}_B [/mm] = [mm] (M^{S}_B')^-1*M^{S}_S [/mm] * [mm] M^{S}_B
[/mm]
Würdet ihr etwas anderes erzählen oder ist etwas falsch?
Immerhin habe ich ja eigentlih auch nur 5 Minuten Zeit.
Wäre schön wenn ihr antworten könntet.
LG Sandra
Nachtrag: Meine Inverse ist diese Matrix
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1}
[/mm]
und dann geht leider irgendwie diese Gleichung nicht auf. Vielleicht irre ich mich auch, aber man kann die Darstellungsmatrix bezüglich der beiden neuen Basen ja auch so aufstellen und dann kommen zwei unterschiedliche Ergebnisse raus, leider weiß ich aber nicht wo mein Fehler ist;(
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> Eine lineare Abbildung ist ein Homomorphismus von
> Vektorräumen. Für diesen muss gelten:
>
> f:V->W , [mm]f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)[/mm]
> f(cv)=cf(v) [mm]c\inK; v_1,v_2\inV[/mm]
>
> Aus diesen Regeln lässt sich dann auch ein Krtierium für
> lineare Abbildungen herleiten, nämlich:
> f(0)=0 => denn: [mm]f(0)=F(v_1-v_1)=f(v_1)-f(v_1)=0[/mm]
Hallo,
das ist eine Eigenschaft, aber kein Kriterium.
> So dann würde ich auch schon dazu übergehen, dass lineare
> Abbildungen durch Matrizen dargestellt werden können.
Mir fehlt in dem, was Du anschließend schreibst, etwas ganz Wichtiges: daß jede lineare Abbildung durch Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt ist. Nur deshalb funktioniert ja die Darstellung durch Matrizen.
Gruß v. Angela
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"2.Jede lineare Abbildung ist fon der Form für genau eine Matrix
Beweis: Hier muss eigetlich nur die Eindeutigkeit gezeigt werden=> ist der Spaltenvektor von A , also sind die Bilder der Basiselemente , nämlich die Spaltenvektoren von A=> das ist Eindeutig!
Allerdings muss hier einschränkend gesagt werden, dass es bis auf die Wahl der Basis eindeutig ist, sodass man dann übergehen könnte zu Basiswechsel. "
habe ich das nicht hier gesagt?
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>>> "2.Jede lineare Abbildung ist fon der Form für genau eine
>>> Matrix [...]
>>> Allerdings muss hier einschränkend gesagt werden, dass es
>>> bis auf die Wahl der Basis eindeutig ist, sodass man dann
>>> übergehen könnte zu Basiswechsel. "
>
>
> habe ich das nicht hier gesagt?
Das was Du oben zu sagen hast, solltest Du anders formulieren. Irgendwie so: wenn man eine lineare Abbildung hat, gibt es genau eine Matrix M, welche L zgl einer vorgegebenen Basis beschreibt. Oder so ähnlich.
Das jede lin. Abbildung durch die Werte auf einer Basis eindeutig beschrieben ist, wirst Du im Beweis natürlich verwenden.
Aber diese Eigenschaft ist ja so, daß sie vor der Matrix kommt. Wenn lineare Abbildungen diese Eigenschaft nicht hätten, bräuchte man sich im Zusammenhang mit ihnen nicht mit Matrizen zu beschäftigen. Und weil das so ist, würde ich das vorweg erwähnen und dann erst das Wort Matrix in den Mund nehmen.
(Daß man sich in der Prüfung für die konkrete Durchführung von Basistransformationen interessiert, glaube (!!!) ich übrigens eher nicht.)
Gruß v. Angela
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Ist denn die Bestimmung der Darstellungsmatrix bezüglich der neuen Basis soweit richtig?(Bis auf einen fehler der dann irgendwo aufgetreten sein muss?)
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> Ist denn die Bestimmung der Darstellungsmatrix bezüglich
> der neuen Basis soweit richtig?(Bis auf einen fehler der
> dann irgendwo aufgetreten sein muss?)
Hallo,
Du schriebst:
Ich habe da beim Drüberschauen nichts Verkehrtes entdeckt.
Rätselhaft ist mir, was Du hiermit meinst. Du schriebst:
"Nachtrag: Meine Inverse ist diese Matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1} [/mm] $
und dann geht leider irgendwie diese Gleichung nicht auf. Vielleicht irre ich mich auch, aber man kann die Darstellungsmatrix bezüglich der beiden neuen Basen ja auch so aufstellen und dann kommen zwei unterschiedliche Ergebnisse raus, leider weiß ich aber nicht wo mein Fehler ist;( "
Was genau liegt Dein Problem, was kam raus, was Dir nicht gefällt?
Was hast Du gerechnet, was Dir differierende Ergebnisse liefert?
Gruß v. Angela
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man kann ja die Darstellungsmatrix M ,die man nun bezüglich der neuen basen haben möchte, direkt aufstellen, so wie zu der alten Matrix. Basisvektoren abbilden, als linearkombi der anderen darstellen und als spalten der amtrix schreiben)
da sollte ja dann dieselbe Matrix rauskommen, wie, wenn ich die Transformationsmatrizen hintereinanderschalte, also miteinander multipliziere.
Wenn ich das aber gemacht habe:
[mm] M^{B'}_B=$ (M^{S}_B')^-1\cdot{}M^{S}_S \cdot {}M^{S}_B [/mm] $
dann kam nicht dasselbe für [mm] M^{B'}_B, [/mm] wie oben.
Lg Sandra
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> [...]da sollte ja dann dieselbe Matrix rauskommen, wie, wenn ich
> die Transformationsmatrizen hintereinanderschalte, also
> miteinander multipliziere.
> Wenn ich das aber gemacht habe:
> [mm]M^(B')_B=[/mm] [mm](M^{S}_B')^-1\cdot{}M^{S}_S \cdot {}M^{S}_B[/mm]
> dann kam nicht dasselbe für [mm]M^{B'}_B,[/mm] wie oben.
Hallo,
dann wirst Du Dich irgendwo verrechnet haben, mehr kann man dzu im Moment nicht sagen. Das Vorgehen, wie Du die darstellende Matrix bzgl. der beiden Basen bestimmt hast, war jedenfalls in Ordnung.
Gruß v. Angela
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> in meiner Prüfung soll ich am nafang 5 Minuten mit einem
> selbstgewählten Thema anfangen und da habe ich mir die
> linearen Abbildungen ausgesucht.
Hallo,
das ist auf jeden Fall ein sinnvolles Thema, möglicherweise auch eines, welches der Prüfer als mögliches Einstiegsthema vorgeschlagen hat. Es bietet ihm den Vorteil, daß er von dort aus in nahezu jede beliebige Richtung gelangen kann, fast nahtlos ja zu den Eigenwerten etc.
Auf eines will ich Dich noch hinweisen:
Es kann gut sein, daß sich der Prüfer angeregt durch Deine Erzählungen über lineare Abbildungen für den Vektorraum der Homomorphismen von V nach W interessiert und für den Homomorphismenring. Von diesem ist wiederum nicht weit zum Dualraum.
Gruß v. Angela
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So Dan ke erst einmal.
Zm Vektorraum der Homomorphismen könnte ja um Beispiel kommen, bezüglich was er überhaut einen ektorraum bildet und das er überhaupt einen bildet. Dann zum Beispiel hatten wir noch den Endomorphismenring..der macht ja auch nachher weiter Sinn, denn quadratsiche Matrizen sind ja bezüglich eines Endemorphismus.
Allerdings hatten wir nichts zu Dualräumen. Ich weiß zwar das es eine Abbildung f:V->K ist oder?(aber wie gesagt haben wir nicht behandelt und ich hoffe mal, dass er dann sowas nicht fragt..
Zweitens zu Eigenwerten: Erstmal allegemein ist doch zu sagen, dass [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert, wenn [mm] Av=\lambda* [/mm] v
Hierbei ist A die beschreibende matrix eines Endomorphismus bezüglich einer Basis von [mm] V_n(K)
[/mm]
mit v ungleich 0.
Ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist dann [mm] Av=\lambda* [/mm] v
Was ich aber eigentlich fragn wollte, ist, dass ein Eigenvektor doch eben genau so ein vektor ist, der entweder auf sich selber [mm] (\lambda=1, [/mm] also Fixvektor) oder auf sein [mm] \lambda-faches [/mm] abgebildet wird.
Gibt es noch einen Grund diese Eigenvektoren zu berechnen, außer das man dadurch häufig auf einfachere Darstellungen der Matrizen bezüglich dieser Eigenvektoren kommt?
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> Allerdings hatten wir nichts zu Dualräumen.
Dann solltest du davor sicher sein.
> Ich weiß zwar
> das es eine Abbildung f:V->K ist oder?
Nein, das ist eine Linearform.
Und die Menge der Linearformen von V [mm] \to [/mm] K bildet dann den Dualraum von V.
Aber wenn Ihr's nicht hattet, wird er nicht danach fragen.
> Zweitens zu Eigenwerten: Erstmal allegemein ist doch zu
> sagen, dass [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert, wenn
es einen von Null verschiedenen Vektor v gibt mit
> [mm]Av=\lambda*[/mm] v
> Hierbei ist A die beschreibende matrix eines
> Endomorphismus bezüglich einer Basis von [mm]V_n(K)[/mm]
> mit v ungleich 0.
>
> Ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist dann [mm]Av=\lambda*[/mm]
> v
> Was ich aber eigentlich fragn wollte, ist, dass ein
> Eigenvektor doch eben genau so ein vektor ist, der entweder
> auf sich selber [mm](\lambda=1,[/mm] also Fixvektor) oder auf sein
> [mm]\lambda-faches[/mm] abgebildet wird.
> Gibt es noch einen Grund diese Eigenvektoren zu berechnen,
> außer das man dadurch häufig auf einfachere Darstellungen
> der Matrizen bezüglich dieser Eigenvektoren kommt?
Naja, die Eigenvektoren liefern ja ganz wichtige Informationen über die Abbildung. Denk z.B. an die Drehungen. Der Eigenvektor zeichnet eine ganz bestimmte Richtung aus, die Drehachse.
Es werden ja, wenn man eine geeignete Basis wählt, nicht nur die Matrizen schöner. Es rechnet sich viel behaglicher, wenn die Basis an die Geometrie des Problems angepaßt ist.
Gruß v. Angela
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Ja das einzige was wir hatten, war das die determinantenform eine Linearform ist
Diese ist Linear in der Spalte definiert, aber sie ist doch auch linear in jeder Zeile oder?
Was mir zum Beispiel spontan einfällt, ist das die orthogonalen 2x2 Matrizen, die ja soweiso nur Eigenwert 1 und -1 haben, diejenigen Matrizen
D= [mm] \pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) } [/mm] die Drehungen um den Nullpunkt entgegen dem uhrzeigersinn
und S= [mm] \pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\sin(\alpha) & -cos(\alpha) }die [/mm] Spiegelungen an der Achse [mm] (sin(\alpha),1-cos(\alpha))
[/mm]
Eine 2x2 orthogonale Matrix ist dann eine Drehung wenn det(A)=1 und eine Spiegelung wenn det (A)=-1
Etwaiges gibt es für die 3x3 matrizen.
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>
> determinantenform eine Linearform ist
Das ist nicht mein Lieblingsthema...
Eine Determinantenform ist eine spezielle Multilinearform.
Zu Determinantenformen mach' ggf. lieber einen eine neue Diskussion auf.
> Was mir zum Beispiel spontan einfällt, ist das die
> orthogonalen 2x2 Matrizen, die ja soweiso nur Eigenwert 1
> und -1 haben, diejenigen Matrizen
> D= [mm]\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
> die Drehungen um den Nullpunkt entgegen dem uhrzeigersinn
So'n Quatsch!!!
Wo soll denn er Eigenvektor der Drehung im Zweidimensionalen sein???
Mal so rein anschaulich: bleibt da irgendeine Richtung unverändert?
Wahr ist folgendes: die orthogonalen Matrizen haben die Determinante 1 oder -1, und der Betrag eines eventuellen Eigenwertes ist 1.
Gruß v. Angela
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