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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey ich habe da mal einige kleine Fragen, die auch zum Verständnis dienen! Vielleicht könnt ihr euch die Aussagen mal anschauen. Meine Gedanken zu den Aufgaben habe ich immer darunter geschrieben. Also:
(I) Entscheiden Sie jeweils, ob die unten definierten Abbildungen F : V -> W K-linear sind.
1. [mm] K = \IR V = W = Abb\left( \IR ,\IR \right) , F\left( f \right) : x \rightarrow xf\left( x^2 - 1 \right) [/mm] für [mm] f \in V , x \in K [/mm]
Für diese Abbildung habe ich überhaupt keine Ahnung. Verstehe die Abbildungsvorschrift nicht.
2. [mm] K = \left( \IZ / 2 \IZ \right) , V = W = \left( \IZ / 2 \IZ \right) , F : x \rightarrow x + x^2 [/mm].
Ich bin der Meinung, dass die Abbildung K-linear ist. Denn beide Bedingungen dafür werden erfüllt:
F(0 + 1) = F(1) = 0 = 0 + 0 = F(0) + F(1)
0 [mm] \cdot [/mm] F(1) = 0 = F(0 [mm] \cdot [/mm] 1)
3. [mm] K = IR , V = \IR^2 , W = \IR^3 , F\left( x_1 , x_2 \right) \rightarrow \left( x_1 + x_2 , 2x_1 - x_2 , 3x_1 + 1 \right) [/mm]
Ich würde sagen, dass die Abbildung nicht k-linear ist. Denn als Bsp [mm] F \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = F \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ne F \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + F \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
(II) Es seien K ein Körper, V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume und F : V -> W eine K-lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind dann in jedem Fall richtig?
1. Sind [mm] b_1 , b_2 \in V [/mm] und ist [mm] \left\{ F\left( b_1\right) , \left\{ F\left( b_2\right) \right\} [/mm] linear unabhängig, dann ist [mm] \left\{ b_1 , b_2 \right\} [/mm] linear unabhängig.
Ich würde sagen, dass das nicht zwingend gelten muss.
2. Sind [mm] b_1 , b_2 \in V [/mm] und ist [mm] \left\{ b_1 , b_2 \right\} [/mm] linear unabhängig und F surjektiv, dann ist [mm] \left\{ F\left( b_1\right) , \left\{ F\left( b_2\right) \right\} [/mm] linear unabhängig.
Nein, denn [mm] \left\{ F\left( b_1\right) , \left\{ F\left( b_2\right) \right\} [/mm] muss nicht zwingend linear unabhängig sein.
3. Wenn es eine Basis [mm] \left\{ b_1 , ... , b_n\right\} [/mm] von V gibt, so dass [mm] \left\{ F\left( b_1\right) , ... , \left\{ F\left( b_n\right) \right\} [/mm] eine Basis von W ist, dann ist F bijektiv.
Ist für mich ein Widerspruch. Denn die Injektivität kann doch in diesem Fall nicht gelten.
4. Ist [mm] \left\{ b_1 , b_2 , b_3\right\} [/mm] eine Basis von V und F surjektiv, dann ist [mm] \left\{ F\left( b_1\right) , F\left( b_2\right) , \left\{ F\left( b_3\right) \right\} [/mm] eine Basis von W.
ja!
5. Wenn F surjektiv ist, dann ist dimV [mm] \le [/mm] dimW.
Ich würde sagen die Aussage ist falsch, denn entweder müssen die Dimensionen gleich sein oder dimV müsste größer als dimW sein.
Ich hoffe auf zahlreiche Statements zu meinen Gedanken...!
Gute Nacht,
mfG Mitch
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> (I) Entscheiden Sie jeweils, ob die unten definierten
> Abbildungen F : V -> W K-linear sind.
>
> 1. [mm]K = \IR V = W = Abb\left( \IR ,\IR \right) , F\left( f \right) : x \rightarrow xf\left( x^2 - 1 \right)[/mm]
> für [mm]f \in V , x \in K[/mm]
>
> Für diese Abbildung habe ich überhaupt keine Ahnung.
> Verstehe die Abbildungsvorschrift nicht.
Hallo und guten Morgen!
Gucken wir uns die Sache an. F bildet vom Vektorraum der Funktionen in den Vektorraum der Funktionen ab. Die Argumente sind also Funktionen und die Werte auch. D.h. F(f) ist eine Funktion. Nur welche Funktion? Die Funktion, die der Vorschrift
[mm] F(f)(x):=xf(x^2-1) [/mm] genügt.
Für die Linearitat mußt du nun gucken, ob F(f+g)=F(f)+F(g) und [mm] F(\alpha f)=\alpha [/mm] F(f) ist.
d.h. ob für alle x F(f+g)(x)=F(f)(x)+F(g)(x) und [mm] F(\alpha f)(x)=\alpha [/mm] F(f)(x) gilt.
>
> 2. [mm]K = \left( \IZ / 2 \IZ \right) , V = W = \left( \IZ / 2 \IZ \right) , F : x \rightarrow x + x^2 [/mm].
>
> Ich bin der Meinung, dass die Abbildung K-linear ist. Denn
> beide Bedingungen dafür werden erfüllt:
Mit "beide Bedingungen" meinst Du F(x+x)=F(x)+F(y) und [mm] F(\alpha x)=\alpha [/mm] F(x) ?
Bedenke: die müssen für alle x,y gelten, also für alle möglichen Kombinationen!
So daß Du noch ein bißchen was zu tun hast.
> F(0 + 1) = F(1) = 0 = 0 + 0 = F(0) + F(1)
F(0+0)=
F(1+0)=
F(1+1)=
> 0 [mm]\cdot[/mm] F(1) = 0 = F(0 [mm]\cdot[/mm] 1)
0 [mm]\cdot[/mm] F(0)
1 [mm]\cdot[/mm] F(0)
1 [mm]\cdot[/mm] F(1)
>
> 3. [mm]K = IR , V = \IR^2 , W = \IR^3 , F\left( x_1 , x_2 \right) \rightarrow \left( x_1 + x_2 , 2x_1 - x_2 , 3x_1 + 1 \right)[/mm]
>
> Ich würde sagen, dass die Abbildung nicht k-linear ist.
> Denn als Bsp [mm]F \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = F \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ne F \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + F \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
Das stimmt. In den Übungsaufgaben würde ich aber die jeweiligen Ergebnisse mit aufschreiben.
>
>
>
> (II) Es seien K ein Körper, V und W endlich-dimensionale
> K-Vektorräume und F : V -> W eine K-lineare Abbildung.
> Welche der folgenden Aussagen sind dann in jedem Fall
> richtig?
>
> 1. Sind [mm]b_1 , b_2 \in V[/mm] und ist [mm]\left\{ F\left( b_1\right) , \left\{ F\left( b_2\right) \right\}[/mm]
> linear unabhängig, dann ist [mm]\left\{ b_1 , b_2 \right\}[/mm]
> linear unabhängig.
>
> Ich würde sagen, dass das nicht zwingend gelten muss.
Hast Du denn ein Gegenbeispiel?
Bedenke bitte, daß die Aussage äquivalent ist zu folgender:
[mm] b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] linear abhängig ==> [mm] F(b_1) [/mm] , [mm] F(b_2) [/mm] linear abhängig.
>
> 2. Sind [mm]b_1 , b_2 \in V[/mm] und ist [mm]\left\{ b_1 , b_2 \right\}[/mm]
> linear unabhängig und F surjektiv, dann ist [mm]\left\{ F\left( b_1\right) , \left\{ F\left( b_2\right) \right\}[/mm]
> linear unabhängig.
>
> Nein, denn [mm]\left\{ F\left( b_1\right) , \left\{ F\left( b_2\right) \right\}[/mm]
> muss nicht zwingend linear unabhängig sein.
Du hast recht. Hast du eine Begründung, ein Beispiel?
>
> 3. Wenn es eine Basis [mm]\left\{ b_1 , ... , b_n\right\}[/mm] von V
> gibt, so dass [mm]\left\{ F\left( b_1\right) , ... , \left\{ F\left( b_n\right) \right\}[/mm]
> eine Basis von W ist, dann ist F bijektiv.
>
> Ist für mich ein Widerspruch. Denn die Injektivität kann
> doch in diesem Fall nicht gelten.
Wieso nicht? Es gilt doch dim V= dim bildF +dim KernF . Daraus folgt hier KernF=0, also injektiv.
>
> 4. Ist [mm]\left\{ b_1 , b_2 , b_3\right\}[/mm] eine Basis von V und
> F surjektiv, dann ist [mm]\left\{ F\left( b_1\right) , F\left( b_2\right) , \left\{ F\left( b_3\right) \right\}[/mm]
> eine Basis von W.
>
> ja!
Und was ist, wenn dimW < dimV ???
>
> 5. Wenn F surjektiv ist, dann ist dimV [mm]\le[/mm] dimW.
>
> Ich würde sagen die Aussage ist falsch, denn entweder
> müssen die Dimensionen gleich sein oder dimV müsste größer
> als dimW sein.
Genau. (Rätselhaft ist mir nur: wenn du das alles weißt, wie kommst Du dann auf deine Antwort bei 4. ...)
>
>
> Ich hoffe auf zahlreiche Statements zu meinen Gedanken...!
> Gute Nacht,
> mfG Mitch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo,
kann es sein, dass 2. nicht linear ist, weil das für F(1+1) nicht hin haut?
F(1+1)=F(0)=0=0+0=F(1)+F(1) stimmt doch so nicht, oder?!
Wie kommst du denn bei 1. auf das Beispiel, das kann ich grad nicht nachvollziehen. Bei mir ist die Aufgabe ohne die +1 hinter dem [mm] 3x_1 [/mm] und ich habe rausbekommen dass es linear ist.
MfG,
Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Mi 07.12.2005 | | Autor: | dankman |
Hi Olek,
es haut für F(1+1) wohl hin, da
F(1+1)=F(0)=0
und F(1)= 0 somit F(1)+F(1)=0 , bedenke 1+1=0
Ich habe auch die Aufgabe ohne das +1 und habe auch linear raus.
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