Lineare Abbildung von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welche der folgenden Matrizen stellt die Abbildung f: [mm] \IR^3->\IR^3 [/mm] mit f(x,y,z)=(x-y+z,2x-2y+z,-x-2z) in der Basis B=(1,1,-1)(1,1,0)(0,-1,0) dar:
das ergebnis ist die matrix (-1,1,0;0,-1,1;0,0,-1)
fed-Code ausblenden fed-Code im Editor öffnen
wäre echt dankbar,wenn mir jemand zeigt, wie man da drauf kommt.
gruß |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewforum.php?forum=-2&ref=http%3A%2F%
2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fhl%3Dde%26rlz%3D1B2GGFB_deDE228DE228%26sa%3
DX%26oi%3Dspell%26resnum%3D0%26ct%3Dresult%26cd%3D1%26q%3Dmathe%2Bfor
um%26spell%3D1
Hallo freunde. ich muss in alga 10 von aufgaben des typs rechen, was ich gleich aufschreiben werde. es wäre super nett, wenn mir einer klären könnte, wie dieses beispiel funktionert, denn die anderen aufgaben waren alle analog, nur mit anderen zahlen.
Wäre sehr, sehr nett, wenn mir einer erklären könnte, wie man das rechnet.
danke
gruß
|
|
| |
|
> Welche der folgenden Matrizen stellt die Abbildung f:
> [mm]\IR^3->\IR^3[/mm] mit f(x,y,z)=(x-y+z,2x-2y+z,-x-2z) in der
> Basis B=(1,1,-1)(1,1,0)(0,-1,0) dar:
Hallo,
Wenn Du die Matrix bzgl [mm] B=(b_1, b_2, b_3) [/mm] suchst, mußt Du [mm] f(b_i) [/mm] bestimmen, und das Ergebnis dann in Koordinaten bzgl B angeben. Das sind dann die Spalten der gesuchten Matrix.
Sei K die kanonische Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Also
[mm] f(b_1)=f\vektor{1 \\ 1\\-1}_K=\vektor{-1 \\ -1\\1}_K= (-1)*b_1 [/mm] + [mm] 0*b_2 [/mm] + [mm] 0*b_3= \vektor{-1 \\ 0\\0}_B
[/mm]
Alsi hat die darstellende Matrix v. f bzgl. B die Gestalt
[mm] \pmat{ -1 & & \\ 0 & & \\0 & & }.
[/mm]
Die anderen Spalten sind analog zu berechnen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 So 25.11.2007 | | Autor: | jaruleking |
Hi angela.
den ersten teil kann ich noch nachvollziehen. wo du einfach b1 in f einsätz und du erhälst (-1,-1-1)
aber den schritt danach nicht mehr so. was hast du da genau gemacht. wi kommst du vorher schon auf (-1,0,0)?
|
|
|
| |
|
oh das eine frage, keine mitteilung. sorry
|
|
|
| |
|
> Hi angela.
> den ersten teil kann ich noch nachvollziehen. wo du einfach
> b1 in f einsätz und du erhälst (-1,-11)
> aber den schritt danach nicht mehr so. was hast du da
> genau gemacht.
Im Schritt danach habe ich den errechneten Vektor als Linearkombination der Vektoren Deiner Basis B aufgeschrieben. Ich habe mir erlaubt, in dem Bestreben Schreibarbeit zu sparen, diese Vektoren als [mm] b_i [/mm] zu bezeichen.
Rechen nach, ob's stimmt! Ist (-1,-11) gleich der angebebenen Linearkombination?
Danach habe ich die Linearkombination als Koordinatenvektor bzgl B geschrieben, kenntlich gemacht durch den Index B am Vektor.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi angela, danke dass du dich nochmal gemeldet hast, jetzt habe ich es auch verstanden 
und wenn einem aufanhieb die linearkombination nicht auffällt, bleibt wohl keine andere wahl, als jedes mal ein gleichunssystem aufzustellen oder?
oder gibts da tricks, um sowas schneller zu erkennen? denn bei 10 aufgaben, könnte das ganz schön viel werden.
aber danke nochmal, das habe ich jetzt verstanden.
gruß
|
|
|
| |
|
> oder gibts da tricks,
Hallo,
klar gibt's da Tricks, aber wie das beim Zaubern so ist, verrät man die nicht jedem...
Nee, im Ernst, erstmal muß man wissen, was man tut, danch kann man's dann schematisch angehen.
Die darstellende Matrix bzgl der Kanonischen Einheitsbasis K hat man ja blitzschnell,
es ist [mm] A_{KK}=\pmat{ 1 & -1&1 \\ 2 & -2& 1\\-1 & 0&-2 }
[/mm]
Die Matrix T, die von B nach K transformiert, erhält man, indem man die Koordinaten der Vektoren v. B bzgl K als Spalten in die Matrix schreibt:
[mm] T_{BK}=\pmat{ 1 & 1&-1 \\ 1 & -1& 0\\-1 & 0&0 }
[/mm]
Diese kann man invertieren, man erhält die Matrix, die von K nach B transformiert, und die darstellende Matrix v. f bzgl der Basis B,
[mm] A_{BB}, [/mm] erhält man dann wie folgt:
[mm] A_{BB}=T_{BK}^{-1}A_{KK}T_{BK}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 So 25.11.2007 | | Autor: | jaruleking |
danke nochmal für die info.
gruß
|
|
|
|
