Lineare Abbildung prüfen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mo 16.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Prüfe, ob eine lineare Abbildung vorliegt:
1) F: [mm] R^2 [/mm] --> R : F(x,y) := xy
2) F: [mm] R^2 [/mm] --> [mm] R^3 [/mm] : F(x,y) := (x+1, 2y, x+y)
3) F: [mm] R^2 [/mm] --> [mm] R^2 [/mm] : F(x,y) := (2x-y, x)
4) F: [mm] R^2 [/mm] --> [mm] R^2 [/mm] : F(x,y) := [mm] (x^2, y^2)
[/mm]
5) F: [mm] R^2 [/mm] --> R : F(x,y) := |x+y|
6) F: [mm] R^3 [/mm] --> [mm] R^2: [/mm] F(x,y,z) := (x+1, y+z) |
Hallo!
Habe vorerst nur Fragen zu Nr. 1, 2 und 6!
Die anderen muss ich erst rechnen ^^
Bei 2 und 6:
Ich weiß nicht, ob der Nullvektor ein nötiges Kriterium für eine Lineare Abbildung ist?
In der VO waren die beiden Kriterien nur:
F(x+y) = F(x) + F(y)
F(c*x) = c*F(x)
Der Nullvektor wurde nur als Eigenschaft genannt!
Jedoch gilt bei 2:
F(0,0) := (0+1, 2*0, 0+0) = (1,0,0) [mm] \not= [/mm] (0,0,0)
und bei 6:
F(0,0,0) := (0+1,0+0) = (1,0) [mm] \not= [/mm] (0,0)
Ist das nun ein Grund, dass hier keine lineare Abbildung vorliegt??
Und bei 1 hätte ich als Lösung:
sei a:=(a1, a2) und b:= (b1,b2)
f(a+b) = (a1+b1)*(a2+b2)
f(a)+f(b) = (a1*a2)+(b1*b2)
Da f(a+b) [mm] \not= [/mm] f(a)+f(b) --> keine lineare Abbildung!
Richtig??
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Hiho,
> Bei 2 und 6:
> Ich weiß nicht, ob der Nullvektor ein nötiges Kriterium für eine Lineare Abbildung ist?
Vorweg: Bitte bemühe dich, dich korrekt auszudrücken.
"Der Nullvektor" kann kein Kriterium sein, das ist erstmal nur ein mathematisches Objekt.
Was du meinst ist: Ob der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird (oder später kürzer: Die Null wird auf die Null abgebildet).
> In der VO waren die beiden Kriterien nur:
> F(x+y) = F(x) + F(y)
> F(c*x) = c*F(x)
> Der Nullvektor wurde nur als Eigenschaft genannt!
Naja, jede lineare Abbildung bildet den Nullvektor des einen Raums auf den Nullvektor des anderen Raums ab.
Wenn eine Abbildung dies nicht tut, kann sie folglich was nicht sein?
> Jedoch gilt bei 2:
> F(0,0) := (0+1, 2*0, 0+0) = (1,0,0) [mm]\not=[/mm] (0,0,0)
>
> und bei 6:
> F(0,0,0) := (0+1,0+0) = (1,0) [mm]\not=[/mm] (0,0)
>
> Ist das nun ein Grund, dass hier keine lineare Abbildung vorliegt??
Ja.
> Und bei 1 hätte ich als Lösung:
> sei a:=(a1, a2) und b:= (b1,b2)
Indizes machst du mit _, also hier: (a_1,a_2) ergibt [mm] $(a_1,a_2)$
[/mm]
> f(a+b) = (a1+b1)*(a2+b2)
> f(a)+f(b) = (a1*a2)+(b1*b2)
> Da f(a+b) [mm]\not=[/mm] f(a)+f(b) --> keine lineare Abbildung!
> Richtig??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vielleicht könntest du f(a+b) noch schön ausschreiben als [mm] $a_1*a_2 [/mm] + [mm] b_1*b_2 [/mm] + [mm] a_1*b_2 [/mm] + [mm] b_1*a_2 [/mm] = f(a) + f(b) + [mm] a_1*b_2 [/mm] + [mm] b_1*a_2$, [/mm] dann sieht man sofort, dass es "mehr" ist 
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 16.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
Okay, hier meine Lösungsvorschläge für die restlichen Aufgaben:
3) erfüllt alle Kriterien
weil wenn [mm] a:=(a_1, a_2) [/mm] und b := [mm] (b_1, b_2)
[/mm]
kriterium 1:
f(a) = [mm] (2a_1 [/mm] - [mm] a_2, a_1)
[/mm]
f(b) = [mm] (2b_1 [/mm] - [mm] b_2, b_1)
[/mm]
f(a)+f(b) = [mm] (2a_1+2b_1 [/mm] - [mm] (a_2 [/mm] + [mm] b_2), a_1 [/mm] + [mm] b_1)
[/mm]
f(a+b) = [mm] (2(a_1+b_1)-(a_2+b_2), a_1 [/mm] + [mm] b_1) [/mm] = [mm] (2a_1 [/mm] + [mm] 2*b_1 [/mm] - [mm] (a_2 [/mm] + [mm] b_2), a_1 [/mm] + [mm] b_1)
[/mm]
Kriterium 2:
f(c*a) = [mm] (2*c*a_1 [/mm] - [mm] c*a_2, c*a_1)
[/mm]
c*f(a) = c * [mm] (2a_1 [/mm] - [mm] a_2, a_1) [/mm] = [mm] (c(2a_1 [/mm] - [mm] a_2), c*a_1) [/mm] = [mm] (c*2*a_1 [/mm] - [mm] c*a_2, c*a_1)
[/mm]
f(c*a) = c*f(a)
4) wieder keine lineare Abbildung, weil
f(a) + f(b) = [mm] (a_1^2 [/mm] + [mm] b_1^2, a_2^2 [/mm] + [mm] b_2^2)
[/mm]
aber
f(a+b) = [mm] ((a_1 [/mm] + [mm] b_1)^2, (a_2 [/mm] + [mm] b_2)^2) [/mm] was ja ausgeschrieben soviel wie f(a) + f(b) + [mm] (2*a_1*b_1, 2*a_2*b_2) [/mm] wäre
Stimmen diese beiden Aufgaben??
5) hier weiß ich leider nicht, wie ich die Sache mit dem Betrag angehen sollte??
Könnt ihr mir hier vielleicht helfen??
lg
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Hi,
> Okay, hier meine Lösungsvorschläge für die restlichen
> Aufgaben:
>
> 3) erfüllt alle Kriterien
> weil wenn [mm]a:=(a_1, a_2)[/mm] und b := [mm](b_1, b_2)[/mm]
>
> kriterium 1:
> f(a) = [mm](2a_1[/mm] - [mm]a_2, a_1)[/mm]
> f(b) = [mm](2b_1[/mm] - [mm]b_2, b_1)[/mm]
>
> f(a)+f(b) = [mm](2a_1+2b_1[/mm] - [mm](a_2[/mm] + [mm]b_2), a_1[/mm] + [mm]b_1)[/mm]
> f(a+b) = [mm](2(a_1+b_1)-(a_2+b_2), a_1[/mm] + [mm]b_1)[/mm] = [mm](2a_1[/mm] +
> [mm]2*b_1[/mm] - [mm](a_2[/mm] + [mm]b_2), a_1[/mm] + [mm]b_1)[/mm]
>
> Kriterium 2:
> f(c*a) = [mm](2*c*a_1[/mm] - [mm]c*a_2, c*a_1)[/mm]
> c*f(a) = c * [mm](2a_1[/mm] -
> [mm]a_2, a_1)[/mm] = [mm](c(2a_1[/mm] - [mm]a_2), c*a_1)[/mm] = [mm](c*2*a_1[/mm] - [mm]c*a_2, c*a_1)[/mm]
>
> f(c*a) = c*f(a)
>
>
> 4) wieder keine lineare Abbildung, weil
> f(a) + f(b) = [mm](a_1^2[/mm] + [mm]b_1^2, a_2^2[/mm] + [mm]b_2^2)[/mm]
> aber
> f(a+b) = [mm]((a_1[/mm] + [mm]b_1)^2, (a_2[/mm] + [mm]b_2)^2)[/mm] was ja
> ausgeschrieben soviel wie f(a) + f(b) + [mm](2*a_1*b_1, 2*a_2*b_2)[/mm]
> wäre
>
> Stimmen diese beiden Aufgaben??
Jop.
>
>
> 5) hier weiß ich leider nicht, wie ich die Sache mit dem
> Betrag angehen sollte??
> Könnt ihr mir hier vielleicht helfen??
Einfach anfangen zu rechnen.
$F(ax,ay)=|ax+ay|=|a(x+y)|=|a||x+y|=|a|F(x,y)$
Also?
Außerdem gilt ja nach der Dreiecksungleichung
[mm] |x_1+x_2+y_1+y_2|=|(x_1+y_1)+(x_2+y_2)|\le|x_1+y_1|+|x_2+y_2|
[/mm]
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 16.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
5)
Wenn ich nach meinen beiden kriterien versuche, auf lineare abbildung zu überprüfen, komme ich auf folgende lösung:
c*f(a) = c * [mm] |a_1 [/mm] + [mm] a_2|
[/mm]
f(c*a) = |c * [mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2)| [/mm] = [mm] |c*a_1 [/mm] + [mm] c*a_2|
[/mm]
liegt hier bereits ein widerspruch vor??
wir haben bis jetzt leider noch nicht viel mit beträgen zu tun gehabt, aber wenn ich es richtig verstanden gab gilt beispielsweise
|c| = |-c| = c
also, falls c < 0 wäre, wäre die gleichung ja falsch, nicht??
lg
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Hi,
genau das schrieb ich oben ;)
Die Schlussfolgerung ist ok. Funktion in Aufgabe 5) ist nicht linear.
Dann informiere dich bitte schnell, was ein Betrag einer Zahl überhaupt ist. Das ist wirklich wichtig, dass du dich mit solchen Sachen auskennst.
In Aufgabe 5) werden übrigens beide Kriterien verletzt.
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